1、
第3章
(考试时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝(x,2y,3)，b＝(1,1,6)，且a∥b，则x＋y等于( )
A. B.
C. D．2
解析： ∵a∥b，∴x＝2y＝，
∴x＝，y＝.
∴x＋y＝.
答案： B
2．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析： a＋λb＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)，
2、
因为(a＋λb)·a＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1)
＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0，
所以λ＝－2.
答案： D
3．若向量(1,0，z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为，则z等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析： 由题知＝，
＝，
1＝，∴z＝0.
答案： A
4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1－e2，d＝3e1＋2e2＋e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)，且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为( )
A.，，－1 B.，，1
C．－，，1 D.，－，1
解析： d＝xa＋yb＋z
3、c＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2－e3)
＋z(e1－e2)．
∴∴
答案： A
5．若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
解析： ∵u＝－2a，∴u∥a，
∴l⊥α，故选B.
答案： B
6．在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A．1 B.
C. D.
解析： 如图，
＝＋＋
＝＋－，
所以x＝1,2y＝1,3z＝－1，
所以x＝1，y＝，z＝－，
因此x＋y＋z＝1＋
4、－＝.
答案： B
7．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析： 以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)．
∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)．
∴cos〈，〉＝＝＝.故选C.
答案： C
8．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，
D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( )
A．60°
5、 B．45°
C．30° D．90°
解析： 设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量．
∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)，
∴∴
∴n＝.
又＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.故选C.
答案： C
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：
以点D为原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)．
又可以证明A1
6、C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD，又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.故选B.
答案： B
10.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A. B.
C. D.
解析： 因为A1B1∥EF，G在A1B1上，
所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，
即是A1到D1E的距离，D1E＝，
由三角形面积可得所求距离为＝.故选D.
答案： D
二、填空题(本大题共4小
7、题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.
解析： 因为a－2b＝(8，－5,13)，
所以|a－2b|＝＝.
答案：
12．设a＝(2，－3,1)，b＝(－1，－2,5)，d＝(1,2，－7)，c⊥a，c⊥b，且c·d＝10，则c＝________.
解析： 设c＝(x，y，z)，
根据题意得
解得
答案：
13．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
解析：
以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，
所以＝(－4,3,0)，
＝，
所以在AB上的投影长为＝，
所以P到AB的距离为
d＝＝＝3.
答案： 3
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