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第二章离散时间 信号与系统（二）抽样过程xn=xa（0,二%（）F=T Te n 27m t=nT=卜,1 T。=2/xJO=Acos（Q0r+）匚）xn=A cos（g+。）P52例2.11演示混叠。连续时间正弦族：xa k(t)=Acos(p.Qt+(ff)+klTt)上=0,l,2,A可以产生相同的抽样信号！。混叠：由较高频的连续正弦信号和较低 频的连续正弦信号抽样可以得到相同的 离散时间序列。例2.12)离散时间系统。功能：对给定的输入序列进行处理得到输出 序列。处理过程：从时间序号n开始，随着n值的增 力口，顺序产生输出序列：yk 3 yk+1 3 yk+2。数字滤波器：处理数字信号的离散时间系统离散时间系统举例。累加器滑动平均滤波器。指数加权的移动平均滤波器。线形内插器中值滤波器累加器yn=Z 必=yn-l+xn/=001 n nyn=Z xl+Z 对=yl+Z/=oo 1=0 1=0n0:y卜1称为初始条件滑动平均滤波器重复测量可以较低噪声对测量的干扰在无法重复测量的情况下：利用n-M+1v=lv=n的M个检测的受到噪声影响的数 据xl按照下式求M点均值yn：1 M-1M i=o滑动平均滤波器。误差估计：标准方差刎二1M-1(xn-l-yn)2/=oM。有界性：原序列的取值有界：M的大小对处理结果的影响滑动平均滤波器:化简:yn=yn-l+-(xn-xn-M)M:例213）指数加权的移动平均滤波器。加权原则：权值的大小和距离成反比yn=ocyn-1+xn 0ario 的输入样本。在因果系统中输出的变化并不先于输入的变 化（输入和输出的抽样率相同）。线性内插器定义的离散时间系统不是因果系 统稳定系统。系统是稳定的，当有界的输入产生有界的输出时。BIBO：有界输入产生有界输出即：当对于所有的n,有|xn|vBx，则对于所有的n,有|yn|vByP61 例2.18 例2.19无源和无损系统。无源离散系统：输出序列的能量不能超过输入序列 的能量O 即：00 00&|如2n=oo=oo。无损系统：上式等号成立 P62 例2.20）冲激和阶跃响应。单位抽样响应：输入单位抽样序列时数字滤 波器的输出，简称冲激响应 hn。单位阶跃响应：输入单位阶跃序列时数字滤 波器的输出，简称阶跃响应 snoLTI（线性时不变系统）数字滤波器在时域中 可以通过冲激响应或阶跃响应完全描述，P62 例221 例222 例2.23)LTI离散时间系统的时域特性:.LTI两大特性：线性和时不变)*LTI离散时间系统可以看成多个简单子系统的)互连)。讨论步骤：|力输出序列可表示成冲激响应序列与输入序列的卷j积和|力利用列表法计算有限长序列的卷积和|力用冲激响应表示稳定性和因果性条件)输入输出关系。在LTI系统中：若知道了冲激响应hn,就可以知 道系统对任意输入的输出响应。输入输出的卷积公式（P63推导）yn-xn 0An P63例2.24 卷积和 P64 例2.25卷积运算的性质：交换率 W x2 M-2 X1：结合率(xjw x2n)x3n-xn (x2w x3w)。分配率X (xn2+x3n)=X x2n+$x3n卷积运算的操作00yn=xkhn-kk=-co1,将hk时间反转得到h-k2.将叶k平移形成序列hn-k3.形成乘积序列vk=xkhn-k4.将vk的全部样本值求和得到卷积和yn的 第n个样本h-k 9 昂【)冲激响应。在时域中，用冲激响应hn可以完全描述 LTI离散时间系统的特性。可以利用卷积公式计算任何给定输入产生的 输出。输入序列和冲激响应一般是有限长的 当冲激响应是无限序列时，利用等效系统来 分析 P64 例226 例2.27用matlab计算卷积函数:g conv9 input9 lengthg disps stem例229用列表法计算卷积和）用冲激响应表示的稳定条件。离散时间系统的B旧。稳定性：对所有有界输入 序歹Uxn,系统的输出序列yn仍保持有界 LTI系统的稳定条件：00s-00=00*对复冲激响应序列也成立 4/P69 例2.31 例2.331用冲激响应表示因果性条件。当且仅当hn是满足下式的因果序歹U时,LTI离散时间系统才是因果系统hk=O,k=rio而输由yn。)全解计算求解类似于常系数微分方程：齐次解和特解:齐次解：输入xn=O时为齐次差分方程的解y。:特解：某一特定输入xn得到的输出yp全解二齐次解+特解特解一般设为与特定输入xn有相同的形式 例2.37零输入响应和零状态响应 yzin：输入xn为。时的解 yzsn：初始条件为0并运用给定输入时的解；。全解=yzin+yzsn I例2.39)计算冲激响应。hn是当输入xn为单位脉冲序列时系统的输 出此时：9是零状态响应9当n0时xn=O,故特解是0。因此：可根据齐次解得到冲激响应例 2.40用matlab计算输出matlab 函数filter内部变量sin。初始条件：sg开始时刻的一组值:零初始条件下:y=filter(p,d,x)非零初始条件下：y,sffHter(p,d,x,si)例2.43用matlab计算冲激和阶跃响应:*函数impz:*函数stepz 中例2.44根据特征方程的根确定B旧0稳定性。观察：稳定LTI系统的冲激响应的样本随着时间序 号n的变大而衰减到零值观察：稳定LTI系统的阶跃响应的样本随着n变大 而趋于某个恒定值如何确定一个系统的稳定性？00 00n=0 n=0Ne 弓（4 yi=lN oon=0:旧0稳定的充要条件：特征方程的每一 个根的幅度都小于1*LTI离散系统的分类:基于冲激响应长度的分类:基于输出计算过程的分类：基于冲激响应系数的分类基于冲激响应长度的分类：有限冲激响应（FIR）修yn=hkxn-k k=N无限冲激响应（HR）（因果）yn xkhn-kk-Q)基于输出计算过程的分类。非递归离散时间系统：依靠当前和过去时刻 的输入样本来计算。递归离散时间系统：还需过去时刻的输出样 本滑动平均模型(MA),自回归模型(AR)。自回归滑动平均模型(ARMA)三种模型M：滑动平均模型(MA)：yn pkxn-kk=0*自回归模型(AR)：nyn=xn-dkyn-kk=0。自回归滑动平均模型(ARMA)：，(M MyM=Z PzM 一 人 一 Z dk y一 人k=0 k=0十:3于冲激响应系数的分类实离散时间系统 复离散时间系统)信号的相关。相关性：用来确定信号间的相似程度互相关：00rxyl=xnyn-l Z=0,l,2,AFl=oo