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惠州市2017届高三第二次调研考试数学(理科)试题(附参考答案).doc

1、惠州市2017届高三第二次调研考试数学(理科)试题一选择题:本大题共12小题,每小题5分。(1)若复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点的坐标为( )(A) (B) (C) (D)(2)已知全集,集合,则( )(A) (B) (C) (D)(3)如图,在正方形中,点是的中点,点是的一个三等分点,那么( )(A) (B) (C) (D)(4)已知为等比数列,则( )(A) (B) (C) (D)(5)已知随机变量服从正态分布,若,则( )(A) (B) (C) (D)(6)已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (

2、D)(7)设是等差数列的前项和,若,则( )(A) (B) (C)(D)(8)如图给出了计算的值的程序框图,其中分别是( )(A), (B), (C), (D),(9)已知函数的最小正周期是,将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点,则函数( )(A)在区间上单调递减 (B)在区间上单调递增(C)在区间上单调递减 (D)在区间上单调递增(10)若的展开式中含有常数项,则的最小值等于( )(A) (B) (C) (D)(11)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的( )正视图侧视图俯视图(A)外接球的半径为 (B)表面积为 (C)体积为 (D)外接球的表面积

3、为(12)已知定义在上的函数满足:函数的图象关于直线对称,且当成立(是函数的导函数), 若,, 则的大小关系是( ) (A) (B) (C) (D) 二填空题:本大题共4小题,每小题5分。(13)若直线(,)经过圆的圆心,则的最小值为_(14)已知直线与曲线相切,则的值为_(15)已知、满足不等式组 ,则的最大值是 (16)在正四棱锥中,直线与平面所成角为,为的中点,则异面直线与所成角的大小为_一、 选择题:题号123456789101112答案二、填空题:13. ;14. ;15. ; 16. ; 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)在中,角,所对的

4、边分别为,,已知()求角的大小;()如果,求的面积(18)(本小题满分12分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).()求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;()从盒子中随机抽取个小球,其中重量在内的小球个数为,求的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).(19)(本小题满分12分) 如图,四边形是矩形,是的中点,与交于点,平面.()求证:面;()若,求直线与平面所成角的正弦值. (20)(本小题满分12分)已知点,点是圆上的任意一点,线段

5、的垂直平分线与直线交于点()求点的轨迹方程;()若直线与点的轨迹有两个不同的交点和,且原点总在以为直径的圆的内部,求实数的取值范围(21)(本小题满分12分)已知函数,.()函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围;()是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,请求出整数的最大值;若不存在,请说理由. (参考数据:,,).请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知过点的直线的参数方程是(为参数)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线

6、的极坐标方程式为.()求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;()若直线与曲线交于两点,且,求实数的值 (23)(本小题满分10分)选修 4-5:不等式选讲设函数 ()解不等式;()若存在使不等式成立,求实数的取值范围惠州市2017届高三第二次调研考试数 学(理科)答案与评分标准一选择题:本大题共12小题,每小题5分。题号123456789101112答案DADBCDACBCBA (1)解析:z=,故选D.(2)【解析】 , 所以 ,故选A (3)【解析】解析:在CEF中,.因为点E为DC的中点,所以.因为点F为BC的一个三等分点,所以.所以,故选D.(4)【解析】由得,所以,所以,所以,故选B

7、.(5)【解析】因为已知随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以, 所以,故选C(6)【解析】任取一焦点到一条渐近线的距离为,则,有,故选D(7)【解析】因为,由等差数列前项和公式得,故选A (8)【解析】因为2,4,6,8,60构成等差数列,首项为2,公差为2,所以22(n1)60,解得n30,所以该程序循环了30次,即i30,nn2,故选C(9)【解析】依题 , ,平移后得到的函数是,其图象过(0,1),因为, ,故选B(10)【解析】由展开式的通项公式, 得即有符合条件的解, 当时,的最小值等于5,故选C(11)【解析】观察三视图可知,该几何体是一三棱锥底面等腰三角形底边

8、长为2,高为1,有一侧面是正三角形且垂直于底面,该几何体高为,根据图中数据,另两侧面为腰长为2,底边长为的等腰三角形,所以其表面积为,故选B.(12)【解析】函数的图象关于直线对称,关于轴对称, 函数为奇函数. 因为, 当时,函数单调递减, 当时,函数单调递减., ,故选A.二填空题:本大题共4小题,每小题5分。(13)4, (14), (15) 6, (16)(13) 圆心坐标为 , (14) 【解析】根据题意,求得,从而求得切点为,该点在切线上,从而求得,即.(15)【解析】先根据约束条件画出可行域,再利用z的几何意义求最大值 x, y满足不等式组表示的可行域如图:目标函数为当时,取得最大

9、值是6.(16)【解析】如图,由题意易知,因为,所以为异面直线与所成角,又,中,得为等腰直角三角形,故异面直线与所成角为. 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)解:3分4分5分由正弦定理得:6分8分9分解得:10分的面积12分(18)(本小题满分12分)解()由题意,得,1分解得; 2分又由最高矩形中点的的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20(克)3分 而个样本小球重量的平均值为:(克) 5分故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为克; ()利用样本估计总体,该盒子中小球重量在内的概率为, 6分则.的可能取值为、, 7分,. 9分

10、 的分布列为: 10分.(或者)12分 (19)(本小题满分12分)19. 证法1: 四边形为矩形, 1分 又矩形中, 在中, , 在中, ,即 3分 平面,平面 4分 又,平面 平面 5分证法2:(坐标法)证明,得,往下同证法1证法3:(向量法)以为基底, , ,往下同证法1 (2)在中, 在中, 7分 在中, 9分 设点到平面的距离为,则 , 11分 设直线与平面所成角的大小为,则 12分xyz另法:由(1)得两两垂直,以点为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,6分 则, , , 8分 设是平面的法向量,则 ,即,取,得10分 设直线与平面所成角的大小为,则 直线与

11、平面所成角的正弦值为 12分(20)(本小题满分12分)解:由题意知:,的轨迹是以、为焦点的椭圆,其轨迹方程为4分设,则将直线与椭圆的方程联立得:,消去,得:,6分原点总在以为直径的圆的内部即7分而9分即,且满足式的取值范围是12分(21)(本小题满分12分) 21. 解:()函数与无公共点, 等价于方程在无解 . 2分 令,则令得0增极大值减 因为是唯一的极大值点,故4分 故要使方程在无解, 当且仅当故实数的取值范围为.5分()假设存在实数满足题意,则不等式对恒成立. 即对恒成立.6分 令,则, 令,则,7分 在上单调递增, 且的图象在上连续, 存在,使得,即,则,9分 当时,单调递减; 当时,单调递增, 则取到最小值, ,即在区间内单调递增.11分 , 存在实数满足题意,且最大整数的值为. 12分 22. (本小题满分10分) 解:()直线的参数方程是,(为参数),消去参数可得分由,得,可得的直角坐标方程:分()把(为参数),代入,得,分由,解得,解得或1又满足实数或1分23.(本小题满分10分) 解:() 2分 4分 5分 综上,不等式的解集为: 6分 ()存在使不等式成立7分 由()知,时, 时, 8分 9分 实数的取值范围为 10分理科数学试题 第 15 页 (共 15 页)

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