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力力 动量动量 能量能量 力力 动量动量 能量能量第二章第二章第第2章章 力力 动量动量 能量能量 n 2.1 牛顿运动定律牛顿运动定律 n 2.2 功和能功和能n 2.3 动量与冲量动量与冲量n 2.4 狭义相对论质点动力学初步狭义相对论质点动力学初步 2.1 牛顿运动定律牛顿运动定律杰出的英国物理学家，经典物理杰出的英国物理学家，经典物理学的奠基人他的不朽巨著学的奠基人他的不朽巨著自然哲自然哲学的数学原理学的数学原理总结了前人和自己关总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果，于力学以及微积分学方面的研究成果，其中含有三条牛顿运动定律和万有引其中含有三条牛顿运动定律和万有引力定律力定律,以及质量、动量、力和加速度以及质量、动量、力和加速度等概念在光学方面，他说明了色散等概念在光学方面，他说明了色散的起因，发现了色差及牛顿环，他还的起因，发现了色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说。提出了光的微粒说。古希腊哲学家亚里士多古希腊哲学家亚里士多德（德（AristotleAristotle，公元前，公元前384384一公元前一公元前322)322)认为：认为：力是维持物体运动的原因。古代物理学的形式是属古代物理学的形式是属于经验总结性的，对事物的于经验总结性的，对事物的认识主要是凭直觉的观察、认识主要是凭直觉的观察、凭猜测和臆想。凭猜测和臆想。伽利略（伽利略（Galileo，1564一一1642）近代科）近代科学的先驱学的先驱伽利略的斜面实验：如果把水平面制作得越是如果把水平面制作得越是光滑，则小球会滚得更远。光滑，则小球会滚得更远。实验一实验一 实验二实验二力不是维持运动的原因。如果斜面的倾角无限小（平面），那么小球将沿平面几如果斜面的倾角无限小（平面），那么小球将沿平面几乎可以一直滚动过去。乎可以一直滚动过去。伽利略对力学的贡献在于把有目的的实验和逻辑推理和伽利略对力学的贡献在于把有目的的实验和逻辑推理和谐地结合在一起，构成了一套完整的科学研究方法。谐地结合在一起，构成了一套完整的科学研究方法。1.牛顿第一定律（惯性定律）牛顿第一定律（惯性定律）数学形式：数学形式：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。到其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。三个重要概念：三个重要概念：v 惯惯 性性 质点不受力时保持静止或匀速直线运动质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的的性质，其大小用质量量度。状态的的性质，其大小用质量量度。v 力力 使质点改变运动状态的原因，力是改变使质点改变运动状态的原因，力是改变速度的原因而不是维持速度的原因。速度的原因而不是维持速度的原因。v 惯性系惯性系 质点处于静止或匀速直线运动状态质点处于静止或匀速直线运动状态(质点处于平衡状态质点处于平衡状态)运动相对某一参考系而言，牛顿运动定运动相对某一参考系而言，牛顿运动定律适用的参考系。律适用的参考系。2.牛顿第二定律牛顿第二定律定义：动量的变化率与外力成正比定义：动量的变化率与外力成正比当当 Vm2，如图所示，如图所示。求求:(1)m1和和m2相对电梯的加速度相对电梯的加速度；(2)绳中的张力绳中的张力设设m1和和m2相对电梯的加速度大小为相对电梯的加速度大小为a，绳中张力大小为，绳中张力大小为T以电梯为参考系，这是一个非惯性系在此参考系中，以电梯为参考系，这是一个非惯性系在此参考系中，m1和和m2受重力、绳的拉力和惯性力，惯性力的方向与电梯相对地受重力、绳的拉力和惯性力，惯性力的方向与电梯相对地面加速度面加速度a的方向相反，如图的方向相反，如图(b)所示为了方便，图中字母所示为了方便，图中字母仅表示各矢量的大小，方向为箭头指向仅表示各矢量的大小，方向为箭头指向ab 对对m1和和m2分别以各自相对电梯的加速度方向为正方向，于是有分别以各自相对电梯的加速度方向为正方向，于是有因绳子和滑轮的质量均忽略不计，所以有因绳子和滑轮的质量均忽略不计，所以有三式联立求解，可得三式联立求解，可得 例例7 7：在水平轨道上有一节车厢以加速度在水平轨道上有一节车厢以加速度ao行驶，在车厢中有一行驶，在车厢中有一质量为质量为m的小球静止地悬挂在天花板上，如图所示的小球静止地悬挂在天花板上，如图所示。求求:试以车厢为参照系求悬线与竖直方向的夹角试以车厢为参照系求悬线与竖直方向的夹角解解:在车厢参照系内观察小球是静止的，即在车厢参照系内观察小球是静止的，即ao=0.它受的力除重它受的力除重力和悬线的拉力外还有一个惯性力力和悬线的拉力外还有一个惯性力由于，由于，在上两式中消去时在上两式中消去时间间t，即得，即得 2.2 功和能功和能2.2.1 功功 功率功率1、恒力的功、恒力的功 2、变力的功、变力的功Oab在直角坐标系中在直角坐标系中 在在ab段所做的功：段所做的功：元功元功在自然坐标系中在自然坐标系中L位移元位移元 注意注意（1）功是代数量，且有正负）功是代数量，且有正负（2）合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和 3、功率（力在单位时间内所做的功）、功率（力在单位时间内所做的功）平均功率平均功率瞬时功率瞬时功率在在 t时间内所做的功为时间内所做的功为 A注：注：功率等于功对时间的一阶导数，也等于力和速度的标积功率等于功对时间的一阶导数，也等于力和速度的标积功率的单位名称为瓦特，简称瓦，符号为功率的单位名称为瓦特，简称瓦，符号为W 2.2.2 功的计算功的计算在直角坐标系中，力和元位移表示为在直角坐标系中，力和元位移表示为可得：可得：在在自然自然坐标系中，力和元位移表示为坐标系中，力和元位移表示为：可得：可得：注：注：前者借助于坐标系，都是力的分量，前者借助于坐标系，都是力的分量，它们都是它们都是代数量；后者与坐标系无关，而是由力和位移的大小及其夹角代数量；后者与坐标系无关，而是由力和位移的大小及其夹角的余弦共同确定的余弦共同确定 在工程上常用图示法计算功在工程上常用图示法计算功 如图所示，图中曲线表示如图所示，图中曲线表示切向力切向力 随路径变化的函数关随路径变化的函数关系系，由由下式下式可知，窄条面积等可知，窄条面积等于元功，曲线下的面积等于从于元功，曲线下的面积等于从Sa到到Sb该力所做的功该力所做的功 对几种常见力的功的计算对几种常见力的功的计算 1、重力的功、重力的功重力的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。重力的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。xyzmG结论结论:重力重力ab x02、弹性力的功、弹性力的功 弹簧弹性力弹簧弹性力由由x1 到到x2 路程上弹性力的功为路程上弹性力的功为弹性力弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。结论结论:3、万有引力的功、万有引力的功 Mabm万有引力万有引力万有引力万有引力的功只的功只也也与始、末位置有关，而与质点路径与始、末位置有关，而与质点路径无关。无关。结论结论:4、摩擦力的功、摩擦力的功摩擦力摩擦力F 做功做功摩擦力的功与质点路径有关摩擦力的功与质点路径有关摩擦力方向与质点速度方向相反摩擦力方向与质点速度方向相反结论结论:摩擦力摩擦力例例8 8：如如图中的半圆面是一个固定的半圆柱体截面，柱面光滑，图中的半圆面是一个固定的半圆柱体截面，柱面光滑，半径为半径为R一根劲度系数为一根劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端的轻弹簧一端固定，另一端与一个质量为与一个质量为m的小物体相连开始时物体位于的小物体相连开始时物体位于a处，弹处，弹簧无形变物体在一个位于竖直平面内并且始终和圆柱面簧无形变物体在一个位于竖直平面内并且始终和圆柱面相切的拉力相切的拉力F作用下，极缓慢地从作用下，极缓慢地从a处移到处处移到处b(弹簧形变在弹簧形变在弹性限度内弹性限度内)，已知，已知 求求:力力F对物体所做的功对物体所做的功解解:物体在物体在a、b之间任一位置之间任一位置c的受力情况如图所示，其中的受力情况如图所示，其中Fk为为弹簧对物体的拉力因物体极缓慢地移动，故可认为物体所弹簧对物体的拉力因物体极缓慢地移动，故可认为物体所受合外力为零采用自然坐标系，切向合外力为零，即受合外力为零采用自然坐标系，切向合外力为零，即根据胡克定律有根据胡克定律有代入上式，得代入上式，得 质点从质点从a处移动到处移动到b处，即角位置从处，即角位置从0增大增大到，力到，力F对物体所做的功为对物体所做的功为 不不难看出，因合力为零，所以合力的功为零因支持力难看出，因合力为零，所以合力的功为零因支持力N不做功，所以不做功，所以 三力做功的代数和必为零显然，重力三力做功的代数和必为零显然，重力做功为做功为 ，而弹簧拉力做功为，而弹簧拉力做功为例例9 9：一质点沿如图所示的路径运动一质点沿如图所示的路径运动。求求:求求力力 对该质点所做的功对该质点所做的功(1)沿沿ODC；(2)沿沿OBC解解:(1)质点沿质点沿OC从从O运动到运动到C在在O到到D的路径上的路径上，y=0，x从从0变到变到2m；在；在D到到C的路的路径上，力径上，力F与路径垂直而不做功因此，与路径垂直而不做功因此，F所做的功为所做的功为(2)质点沿质点沿OBC从从O运动到运动到C同理同理可得：可得：沿不同路径从沿不同路径从O到到C，力对质点所做的功不相等，力对质点所做的功不相等结论结论:2.2.3 动能定理动能定理1.质点动能定理质点动能定理（1）合力做的功等于质点始、末状态动能的增量）合力做的功等于质点始、末状态动能的增量（2）Ek 是一个状态量是一个状态量,A 是过程量。是过程量。（3）动能定律适用于惯性系。）动能定律适用于惯性系。注意注意元功元功第二定律第二定律在质点速度由在质点速度由 v0 变化到变化到 v 的过程中，外力做功为的过程中，外力做功为2、质点系动能定律质点系动能定律求和求和(2)A 包括内力做功和外力做功包括内力做功和外力做功(3)系统的动能与外力、内力系统的动能与外力、内力 都有关都有关(1)对系统所做的功对系统所做的功A等于系等于系 统动能的增量统动能的增量讨论讨论求求:试求到绳子与竖直线的夹角为试求到绳子与竖直线的夹角为15o的的b处时小球的速率处时小球的速率解解:小球质量为小球质量为m，在，在b处速率为处速率为v小球受重力小球受重力mg和绳的拉力和绳的拉力T的作用根据动能定理，有的作用根据动能定理，有例例1010：一小球系在长一小球系在长l=1.0m的细绳下端，绳的上端固定在天花的细绳下端，绳的上端固定在天花板上，如图所示在初始位置板上，如图所示在初始位置a，绳子与竖直线的夹角，绳子与竖直线的夹角 ，由静止释放，由静止释放 由于的方向始终和小球的运动方向垂直由于的方向始终和小球的运动方向垂直,重力重力对小球做的功为对小球做的功为依题意，可得依题意，可得代入已知条件代入已知条件 求求:若子弹接着穿过同样的第二块木板，速率降为多少若子弹接着穿过同样的第二块木板，速率降为多少?解解:设子弹穿过第二块木板时速率为设子弹穿过第二块木板时速率为V3由于两块板中的阻力对由于两块板中的阻力对子弹做功相同，根据质点动能定理，有子弹做功相同，根据质点动能定理，有例例1111：速率为速率为V1=700ms-1的子弹，水平穿过第一块木板后速的子弹，水平穿过第一块木板后速率降为率降为V2=500ms-1 解得：解得：2.2.4 保守力保守力 势能势能1、保守力（做功而只取决于物体的始末位置，与路径无关保守力（做功而只取决于物体的始末位置，与路径无关）质点沿闭合路径一周保守力所做的功为零质点沿闭合路径一周保守力所做的功为零保守力：保守力：重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力非保守力：非保守力：摩擦力摩擦力abL1L2结论结论:2、势能势能保守力做的功等于势能增量的负值。保守力做的功等于势能增量的负值。重力的功重力的功弹性力的功弹性力的功引力的功引力的功说明说明abL1引入势能函数引入势能函数Ep令令Epb=0,则则质点在某处的势能，等于质点从该处移动质点在某处的势能，等于质点从该处移动至零势能点保守力所做的功。至零势能点保守力所做的功。Epb=0Epa=?例例 万有引力势能万有引力势能 rMm以无穷远处为势能零点以无穷远处为势能零点(1)势能零点可以任意选取，某一点的势能值是相对的。势能零点可以任意选取，某一点的势能值是相对的。(3)势能是对保守内力而引入的。对外力没有势能的概念。势能是对保守内力而引入的。对外力没有势能的概念。(2)任意两点间的势能差是绝对的。任意两点间的势能差是绝对的。引力势能引力势能“所有者所有者”？说明说明 3.势能曲线势能曲线(a)、(b)、(c)分别给出了重力势能、弹性势能和万有引力势分别给出了重力势能、弹性势能和万有引力势能的势能曲线能的势能曲线 势能曲线不仅可以求出质点在保守力场中各点所受保守力势能曲线不仅可以求出质点在保守力场中各点所受保守力的大小和方向，而且还可以定性讨论质点在保守力场中的运动的大小和方向，而且还可以定性讨论质点在保守力场中的运动情况及平衡的稳定性等问题情况及平衡的稳定性等问题 求求:(1)势能函数；势能函数；(2)质点位于地面附近上空时，势能函数的质点位于地面附近上空时，势能函数的近似式近似式解解:(1)地球对质点的引力为地球对质点的引力为例例1212：已知地球的质量为已知地球的质量为M，半径为，半径为R，一质量为，一质量为m的质点与地的质点与地心的距离为心的距离为r。选地面为零势能面选地面为零势能面 根据势能定义式，可得势能函数为根据势能定义式，可得势能函数为(2)设质点距地面高度为设质点距地面高度为h，则，则r=R+h，地面附近上空的势能为，地面附近上空的势能为解解:如图所示，质量为如图所示，质量为m1的质点位于参考点的质点位于参考点O点，质量为点，质量为m2的质点沿图示任意路径从位置的质点沿图示任意路径从位置a点运动到点运动到b点，路径上某一点，路径上某一点的位矢为点的位矢为r，此点处的位移元，此点处的位移元ds与位矢与位矢r的夹角为的夹角为令令位矢位矢:例例1313：试判断万有引力是否为保守力试判断万有引力是否为保守力 相对于相对于 的微小增量的微小增量：在质点在质点m2从位置点从位置点a运动到点运动到点b的过程中，质点的过程中，质点m1对质点对质点m2的引力的功为的引力的功为可见，万有引力是保守力可见，万有引力是保守力 2.2.5 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律1.质点系的功能原理质点系的功能原理外力做功外力做功系统机械能系统机械能非保守内力做功非保守内力做功注意：注意：守恒条件守恒条件 只有保守内力做功只有保守内力做功当当 ，机械能，机械能 E守恒守恒机械能守恒定律机械能守恒定律 求求:试分别列出以下列物体为系统时的功能关系式试分别列出以下列物体为系统时的功能关系式（1）M，m（2）M，m，k，地球（，地球（3）M，m，k（4）M，m，地，地球球解解:根据功能原理和题目所要求的四类系统，可分别得出如下关根据功能原理和题目所要求的四类系统，可分别得出如下关系式系式例例1414：如图所示，在水平桌面上放置一质量为如图所示，在水平桌面上放置一质量为M的木块，的木块，M的一端的一端与劲度系数为与劲度系数为k的轻弹簧相连，并固定在墙上，另一端经轻的轻弹簧相连，并固定在墙上，另一端经轻滑轮与下垂的重物滑轮与下垂的重物m相连，设与桌面间摩擦系数为相连，设与桌面间摩擦系数为，其余，其余为光滑接触，开始时为光滑接触，开始时M静止于平衡位置静止于平衡位置 从上例的解答可得下述结论：从上例的解答可得下述结论：(2)系统内某保守力做功的量值与其相应的势能增量是相同的，系统内某保守力做功的量值与其相应的势能增量是相同的，在功能关系中绝不可重复计在功能关系中绝不可重复计入入(1)内力和外力的确定与所选取的系统有关内力和外力的确定与所选取的系统有关(3)等式两边的位移、速度等物理量必须相对等式两边的位移、速度等物理量必须相对(或换算到或换算到)同同 一惯性参考系进行运算一惯性参考系进行运算(4)在机械运动范围内，我们所讨论的只是机械能在机械运动范围内，我们所讨论的只是机械能(动能和势动能和势 能能)2.机械能守恒定律机械能守恒定律 仅当外力和非保守内力都不做功或其元功的代数和为零时，仅当外力和非保守内力都不做功或其元功的代数和为零时，质点系内各质点间动能和势能可以相互转换，但它们的总和质点系内各质点间动能和势能可以相互转换，但它们的总和(即即总机械能总机械能)保持不变这就是质点系的机械能守恒定律保持不变这就是质点系的机械能守恒定律(2)在实际问题中，机械能守恒的条件是无法严格满足的但是当在实际问题中，机械能守恒的条件是无法严格满足的但是当 摩擦力等非保守内力的功同系统的机械能相比可忽略不计摩擦力等非保守内力的功同系统的机械能相比可忽略不计 时，仍可用机械能守恒定律来处理问题，时，仍可用机械能守恒定律来处理问题，（1）机械能守恒定律只适用于惯性参考系，且物体的位移、速机械能守恒定律只适用于惯性参考系，且物体的位移、速 度必须相对同一惯性参考系度必须相对同一惯性参考系说明说明 （2）决不能把功和能看成是等同的，功总是和系统能量的改变决不能把功和能看成是等同的，功总是和系统能量的改变 和转换过程相联系，而能量则只和系统的状态有关，是系统和转换过程相联系，而能量则只和系统的状态有关，是系统 状态的函数状态的函数3.能量守恒定律能量守恒定律 对一个封闭系统来说，系统内的各种形式的能量可以相互转对一个封闭系统来说，系统内的各种形式的能量可以相互转换，也可以从系统的一部分转移到另一部分，但无论发生何种变换，也可以从系统的一部分转移到另一部分，但无论发生何种变化，能量既不能凭空地产生也不能凭空地消失，能量总和总是一化，能量既不能凭空地产生也不能凭空地消失，能量总和总是一个常量这就是能量守恒定律个常量这就是能量守恒定律（1）在能量守恒定律中，系统的能量是不变量、守恒量在能量守恒定律中，系统的能量是不变量、守恒量。系统系统 内的能量在发生转换时，常用功来量度内的能量在发生转换时，常用功来量度说明说明 求求:求求M落到地面时的速率落到地面时的速率V1(m始终在桌面上始终在桌面上)。若物体与桌面。若物体与桌面的静摩擦系数与动摩擦系数均为的静摩擦系数与动摩擦系数均为，结果又如何，结果又如何?解解:以以m和和M及地球做为系统及地球做为系统，分析知系统的机械能守恒。设物，分析知系统的机械能守恒。设物体开始下落时为状态体开始下落时为状态A，M落到地面前瞬间为状态落到地面前瞬间为状态B，取地面，取地面为重力势能零点，则为重力势能零点，则例例1515：如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端分别拴有质量为如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端分别拴有质量为m及及M的物体，的物体，M离地面的高度为离地面的高度为h，若滑轮质量及摩擦力不，若滑轮质量及摩擦力不计，计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均为静止，与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均为静止，V1和和V分别为状态分别为状态B时两物体的运动速率时两物体的运动速率即：即：如果物体如果物体m与桌面有摩擦，那么对于上述所取的系统，这个与桌面有摩擦，那么对于上述所取的系统，这个摩擦力做的功可视为系统的外力负功摩擦力做的功可视为系统的外力负功(若将桌面看作地球的一部分，若将桌面看作地球的一部分，则摩擦力为非保守内力则摩擦力为非保守内力)，根据功能原理得，根据功能原理得代入代入 求求:A点与抛物线最高点点与抛物线最高点C的高度差的高度差 解解:例例1616：如图所示，质量为如图所示，质量为m的滑块从的滑块从A点由静止开始沿轨道下滑，点由静止开始沿轨道下滑，在在B点抛出在从点抛出在从A到到B的过程中，摩擦力对滑块做功为的过程中，摩擦力对滑块做功为A，滑块在滑块在B点抛出时的水平速率为点抛出时的水平速率为u设设A、C两点高度差为两点高度差为h，C点为重力势能零点，如图所示点为重力势能零点，如图所示，根据功能原理有根据功能原理有所以所以，解得，解得 2.2.6 宇宙速度宇宙速度1.人造地球卫星人造地球卫星 第一宇宙速度第一宇宙速度将上式代入可解得：将上式代入可解得：当当时的发射速度最小，就是第一宇宙速度，即时的发射速度最小，就是第一宇宙速度，即 第一宇宙速度第一宇宙速度 联立方程求解得：联立方程求解得：只要物体具有不小于只要物体具有不小于V2的发射速度，就能脱离地球的引力作的发射速度，就能脱离地球的引力作用用说明说明 在地面上发射物体使其脱离地球引力所需的最小发射速度在地面上发射物体使其脱离地球引力所需的最小发射速度称为第二宇宙速度称为第二宇宙速度2.人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度人造行星人造行星 3.飞出太阳系飞出太阳系 第三宇宙速度第三宇宙速度 使物体脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系所需的最小发射速使物体脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系所需的最小发射速度称为第三宇宙速度度称为第三宇宙速度 然后以太阳为参考系物体在太阳引力作用下飞行设太然后以太阳为参考系物体在太阳引力作用下飞行设太阳的质量为阳的质量为Ms，物体脱离地球引力时，相对太阳的速度为，物体脱离地球引力时，相对太阳的速度为Vs，与太阳之间的距离可近似为地球与太阳之间的距离与太阳之间的距离可近似为地球与太阳之间的距离Rs要想脱要想脱离太阳引力作用，物体的机械能至少应为：离太阳引力作用，物体的机械能至少应为：先以地球为参考系。设从地球发射一个速度为先以地球为参考系。设从地球发射一个速度为V3的物体，的物体，脱离地球引力时，它相对地球的速度为脱离地球引力时，它相对地球的速度为V，根据机械能守恒定，根据机械能守恒定律，有律，有 最后考虑地球绕太阳的公转设地球公转速度为最后考虑地球绕太阳的公转设地球公转速度为Ves，据牛顿第二定律，有据牛顿第二定律，有代入相关数值解之代入相关数值解之 质心位矢质心位矢xyzmio对于质量连续分布的系统对于质量连续分布的系统m1m2坐标坐标2.3 动量与冲量动量与冲量2.3.1质心质心 质心运动定律质心运动定律1.质心质心 2.质心运动定律质心运动定律1.质心的速度质心的速度质点系动量质点系动量2.质心的加速度及其动力学规律质心的加速度及其动力学规律质点系动量定理质点系动量定理质点系动量质点系动量质心运动状态只取决于外力，与内力无关。质心运动状态只取决于外力，与内力无关。质点系动量等于总质量与质心速度的积质点系动量等于总质量与质心速度的积说明说明说明说明 水平纸面水平纸面解解:例例1717：求半径为求半径为R的匀质半薄球壳的质心的匀质半薄球壳的质心选如图所示的坐标轴由于球壳对选如图所示的坐标轴由于球壳对oy轴对称，质心显然轴对称，质心显然位于图中的位于图中的oy轴上在半球壳上取一圆环，圆环的平面轴上在半球壳上取一圆环，圆环的平面与与oy轴垂直轴垂直圆环的面积为：圆环的面积为：设匀质薄球壳的质量面密度为设匀质薄球壳的质量面密度为，圆，圆环的质量则为：环的质量则为：可得匀质薄球壳的质心处于可得匀质薄球壳的质心处于质心位于质心位于 处，其位置矢量为处，其位置矢量为 例例18:18:质量为质量为 m 的匀质链条，全长为的匀质链条，全长为 L，开始，开始时，下端与地面的距离为时，下端与地面的距离为 h。解解dl 在落地时的速度在落地时的速度根据动量定理根据动量定理地面受力地面受力求求:当当链链条条自自由由下下落落在在地地面面上上的的长长度度为为 l时时，地地面所受链条的作用力？面所受链条的作用力？LhmllNNG 例例19：人从船头到船尾，船长人从船头到船尾，船长 l 求求：人和船各移动的距离人和船各移动的距离解解 质心静止质心静止初态初态末态末态人相对船的位移人相对船的位移 2.3.2 冲量动量动量定理冲量动量动量定理1.冲量冲量 设在设在t0到到t的时间内，恒力的时间内，恒力F持续作用于质点，则力持续作用于质点，则力F与其作与其作用时间的乘积定义为该恒力的冲量，用表示用时间的乘积定义为该恒力的冲量，用表示I，即，即(1)恒力的冲量恒力的冲量(2)变力的冲量变力的冲量 设在设在t0到到t的时间内，作用在质点上的力随时间变化，可以把力的时间内，作用在质点上的力随时间变化，可以把力持续作用的时间分成许多微小的时间间隔，在每一间隔内，可以将持续作用的时间分成许多微小的时间间隔，在每一间隔内，可以将力视为恒力，于是力力视为恒力，于是力F在在dt间隔内的冲量间隔内的冲量dI为为 表明，合力的冲量等于各个分力在同一时间内冲量的矢量和表明，合力的冲量等于各个分力在同一时间内冲量的矢量和(1)若有几个力若有几个力 同时作用在质点上，则合力的同时作用在质点上，则合力的冲量为冲量为说明说明（2）在）在SI中冲量的单位名称为牛顿每秒，符号为：中冲量的单位名称为牛顿每秒，符号为：NS 牛顿定律牛顿定律结论结论元冲量元冲量2、质点动量定理质点动量定理对质点的冲量等于质点动量的增量对质点的冲量等于质点动量的增量动量定理动量定理微分形式微分形式动量定理动量定理积分形式积分形式.3.质点系动量定理质点系动量定理质点系动量质点系动量求和求和内力之和为内力之和为0 0 (2)直角坐标系直角坐标系在有限时间内在有限时间内(1)系统动量的变化等于外力的冲量，和内力无关。系统动量的变化等于外力的冲量，和内力无关。说明说明积分积分 微分形式微分形式 积分形式积分形式质点系动量定理质点系动量定理(3)只适用于惯性系。只适用于惯性系。求求:此过程中氢分子对器壁的平均冲力此过程中氢分子对器壁的平均冲力 解解:例例2020：已知氢分子的质量已知氢分子的质量m=3.3x10-27kg，与器壁碰撞前后的速，与器壁碰撞前后的速度大小不变，均为度大小不变，均为V=1.6x103ms-1，且碰撞前后的速度方，且碰撞前后的速度方向与器壁法线方向夹角均为向与器壁法线方向夹角均为=60o，如图所示设碰撞时，如图所示设碰撞时间间t=1013s，根据动量定理，氢分子所受器壁的冲量等于氢分子动量的根据动量定理，氢分子所受器壁的冲量等于氢分子动量的增量，即增量，即选取如图所示的坐标系，把冲量和动量进行分解选取如图所示的坐标系，把冲量和动量进行分解 代入上式解得代入上式解得解得解得将数值代入，可解出将数值代入，可解出氢分子对器壁的平均冲力与等值反向，即垂直指向器壁，氢分子对器壁的平均冲力与等值反向，即垂直指向器壁，大小为大小为5.28*10-11N 2.3.3 动量守恒定律动量守恒定律当当 时，质点系动量时，质点系动量 不变不变(1)动量守恒的分量表述动量守恒的分量表述(2)动量守恒定律适用于惯性系动量守恒定律适用于惯性系 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律讨论讨论质点系动量定理质点系动量定理 求求:(1)炮车的反冲速度；炮车的反冲速度；(2)若炮筒长为，则在发射炮弹的过若炮筒长为，则在发射炮弹的过程中炮车移动的距离为多少程中炮车移动的距离为多少?解解:例例2121：如图所示，一辆停在水平地面上的炮车以仰角如图所示，一辆停在水平地面上的炮车以仰角发射一颗炮发射一颗炮弹，炮弹的出膛速度相对于炮车为弹，炮弹的出膛速度相对于炮车为u，炮车和炮弹的质量分，炮车和炮弹的质量分别为别为m和和M忽略地面的摩擦忽略地面的摩擦(1)以炮弹和炮车为系统，选地面为参考系以炮弹和炮车为系统，选地面为参考系，根据相对运动，根据相对运动速度变换关系，可得速度变换关系，可得在水平方向建立在水平方向建立ox轴，并以炮弹前进轴，并以炮弹前进的一方为正方向由于系统动量在水的一方为正方向由于系统动量在水平方向的分量守恒，因此平方向的分量守恒，因此 在在x方向的分量式为方向的分量式为可得炮车的反冲速度为可得炮车的反冲速度为(2)以表示炮弹在炮筒内运动过程中任意时刻相对炮车的速率以表示炮弹在炮筒内运动过程中任意时刻相对炮车的速率在发射炮弹的过程中，炮车的位移为在发射炮弹的过程中，炮车的位移为有有 ，可得炮车的位移为，可得炮车的位移为 不难看出，应用动量守恒定律解题的一般步骤是：不难看出，应用动量守恒定律解题的一般步骤是：说明说明1.按问题的要求和计算方便，选定系统，分析要研究的过程按问题的要求和计算方便，选定系统，分析要研究的过程2.对系统进行受力分析，并根据动量守恒条件，判断系统是对系统进行受力分析，并根据动量守恒条件，判断系统是 否满足动量守恒，或系统在哪个方向上动量守恒否满足动量守恒，或系统在哪个方向上动量守恒 3.确定系统在研究过程中的初动量和末动量应注意各动量确定系统在研究过程中的初动量和末动量应注意各动量 中的速度是相对同一惯性系而言的中的速度是相对同一惯性系而言的4.建立坐标系，列出动量守恒方程求解，必要时进行讨论建立坐标系，列出动量守恒方程求解，必要时进行讨论 解解:例例2222：一辆静止在水平光滑轨道上且质量为一辆静止在水平光滑轨道上且质量为M的平板车上站着两个的平板车上站着两个人，设人的质量均为人，设人的质量均为m(1)两个人同时跳下取两个人和平板车为一个系统，该体两个人同时跳下取两个人和平板车为一个系统，该体系在水平方向不受力，故动量守恒设两人跳下后平板车的系在水平方向不受力，故动量守恒设两人跳下后平板车的速率为速率为V，于是有，于是有求求:试求他们从车上沿同方向，以相对于平板车水平速率试求他们从车上沿同方向，以相对于平板车水平速率u同时同时跳下和依次跳下时，平板车的速率大小跳下和依次跳下时，平板车的速率大小 (2)两个人依次跳下先取两个人和平板车为一个系统，该两个人依次跳下先取两个人和平板车为一个系统，该体系在水平方向不受力，故动量守恒设第一个人跳下后平体系在水平方向不受力，故动量守恒设第一个人跳下后平板车的速率为板车的速率为V1，于是有，于是有 当第二个人跳下时，取平板车和第二个人为一个系统，显然，当第二个人跳下时，取平板车和第二个人为一个系统，显然，也满足动量守恒定律，设第二个人跳下后平板车的速率为也满足动量守恒定律，设第二个人跳下后平板车的速率为V，于是有，于是有解得解得 2.3.4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律1.力对参考点的力矩力对参考点的力矩 如图所示，定义力如图所示，定义力F对参考点对参考点O的力矩的力矩M的大小等于此力的大小等于此力和力臂和力臂(从参考点到力的作用线的垂直距离从参考点到力的作用线的垂直距离)的乘积，即的乘积，即力矩力矩M的定义式又可表示为的定义式又可表示为（1）方向用右手螺旋法则确定）方向用右手螺旋法则确定（2）在国际单位制中，力矩的单位是牛）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿顿米米(Nm)2.质点角动量质点角动量O大小大小方向：方向：垂直垂直 ，所在平面所在平面2.力矩力矩1.质点的角动量质点的角动量大小：大小：方向：垂直方向：垂直 ，所在平面所在平面3.质点的角动量定理质点的角动量定理说明说明1.和和 是对于惯性系中的同一个参考是对于惯性系中的同一个参考O 点而言的。点而言的。积分形式积分形式微分形式微分形式冲量矩是质点角冲量矩是质点角动量变化的原因动量变化的原因角动量变化的快角动量变化的快慢取决于力矩慢取决于力矩2.力矩决定了质点角动量变化的快慢力矩决定了质点角动量变化的快慢4.质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 质点动量矩守恒质点动量矩守恒守恒条件守恒条件2.F=01.r=03.=0 或或即即“有心力有心力”问题问题F力对太阳中心力对太阳中心O点的力矩为点的力矩为0，行星的角动量守恒，行星的角动量守恒例例 行星运动的开普勒第二定律行星运动的开普勒第二定律 SO单位时间扫过面积相等单位时间扫过面积相等守恒守恒 (1)有心力问题：有心力问题：过过 O 点点，MO=0，角动量守恒角动量守恒(2)动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用围均适用讨论讨论 5.质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量守恒定律(1)质点系角动量定理质点系角动量定理ho 质点系角动量质点系角动量根据质点角动量定理，对于第根据质点角动量定理，对于第 i 个质元个质元求和求和一对内力矩，大小相等，方向相反，所以一对内力矩，大小相等，方向相反，所以质点系角动量变化的快慢取决于外力矩，和内力作用无关质点系角动量变化的快慢取决于外力矩，和内力作用无关说明说明有以下三种情况有以下三种情况：(2)质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律2.所有的外力都通过参考点所有的外力都通过参考点1.体系不受任何外力体系不受任何外力(即孤立体系即孤立体系)3.每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零解解:例例2323：在光滑的水平桌面上，放着质量为在光滑的水平桌面上，放着质量为M的木块，木块与一弹簧的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在点相连，弹簧的另一端固定在点O，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k，设，设有一质量为的子弹以初速度有一质量为的子弹以初速度V0垂直于垂直于OA射向射向M并嵌入木块并嵌入木块内，如图所示，弹簧原长为内，如图所示，弹簧原长为L0，子弹击中木块，木块，子弹击中木块，木块M运动运动到到B点时刻，弹簧长度变为点时刻，弹簧长度变为L，此时，此时OB垂直于垂直于OA，求求:在在B点时，木块的运动速度点时，木块的运动速度V0 击中瞬时，在水平面内，子弹和木块组成的系统沿击中瞬时，在水平面内，子弹和木块组成的系统沿V0方向方向动量守恒，若设为子弹嵌入木块时的速率动量守恒，若设为子弹嵌入木块时的速率V1，即有，即有分析知，在分析知，在A到到B的过程中的过程中,子弹、木块子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒和弹簧组成的系统机械能守恒 由由A到到B的过程中，木块对的过程中，木块对O的角动量守恒，设的角动量守恒，设V2与与OB方向成方向成角，则有角，则有求得求得V2与与OB夹角夹角：联立求得联立求得 解解:求求:杆转动的角速度杆转动的角速度 例例2424：如图所示，质量分别为如图所示，质量分别为m1，m2的两个小钢球固定在一个长的两个小钢球固定在一个长为为a的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由转动，杆原来静止另一小球质量为自由转动，杆原来静止另一小球质量为m3，以水平速度，以水平速度V0沿垂直于杆的方向与沿垂直于杆的方向与m2发生碰撞，碰后二者粘在一起发生碰撞，碰后二者粘在一起设设这三个质点组成的系统，在碰撞过程中，系统对这三个质点组成的系统，在碰撞过程中，系统对O点的角动点的角动量守恒，量守恒，由于由于可解得可解得 2.3.5 开普勒定律开普勒定律(1)每个行星各自在一个椭圆轨道上运动，太阳位于椭圆的一个每个行星各自在一个椭圆轨道上运动，太阳位于椭圆的一个 焦点焦点 德国天文学家开普勒德国天文学家开普勒1609年和年和1618年发表了描述太阳系年发表了描述太阳系行星运行的三条结论，史称开普勒定律行星运行的三条结论，史称开普勒定律(2)从太阳指向行星的位矢在相等的时间内扫过的面积相等从太阳指向行星的位矢在相等的时间内扫过的面积相等(3)每个行星运动周期的平方与其椭圆轨道长半轴的立方成正比每个行星运动周期的平方与其椭圆轨道长半轴的立方成正比 令令1.开普勒第一定律开普勒第一定律得：得：上式表示一个椭圆，即：太阳位于椭圆的一个焦点这就是上式表示一个椭圆，即：太阳位于椭圆的一个焦点这就是开普勒第一定律开普勒第一定律 2.星体的机械能星体的机械能e1时，行星的机械能时，行星的机械能E0，凡是被太阳引力束缚而绕太，凡是被太阳引力束缚而绕太阳运动的星体的机械能都是负值阳运动的星体的机械能都是负值e=0，即把行星绕太阳的运动看成圆运动时，即把行星绕太阳的运动看成圆运动时e=1，即当星体沿着抛物线运动时，即当星体沿着抛物线运动时，E=0 只受引力作用的星体的机械能虽然守恒，但不一