2022年高考数学一轮复习专题 专题44 平面向量复习课件.pdf

平面向量复习课件、向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。(1)零向量：长度为o的向量，记作5(2)单位向量：长度为1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量.也 叫共线向量(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.:、向量的表示向量的表示几何表示：有向线段字母表示：、刀等坐标表示：(x,y)(l)a=xi+yj=A(2)若4羽 j),则ON=(x,y)若A(x yj,BL 丫2),贝1J AB=二、向量的运算（一）向量的加法1、作图三角形法则:AB+JCAC平行四边形法则:2、坐标运算：设4=（、,乃）Z=a 2,y2）贝I a+b=（占+*2,必+必）三角形法则 平行四边形法则二、向量的运算3.加法运算率交换律：a+b=b+a（2）结合律：（和5）+心吊（心1.如图，已知a：b,用向量加法的三角形法则 作出2 Tb.2.如图，已知 5,用向量加法的平行四边形法则 作出爵田.两个句量的和仍然是向量,那么它的大小和方向怠样呢?掾究矶团与+矶的关东：1.由例1知，瓯不共线时,4有向+同同+1.2.当K6共线时,且 当西b面向时，有仁+邛=同+问(2)当书欣向时,有+F|=|H-b 因此，我们有I向一i-A B Cf-a-5-C A B_ a+b0时，与Z同向当4-4(4)=(%4)(A+/j)a=Aa+/ja A(a+b)=Aa+Ab【变式练习】计算：(1)(-3)x 4五.(2)3(a+b)-2(a-K)-a.(3)(2a+3d-c)-(3a-2h+c).(4)2(2a+6b 3c)3(3a+4b 2c).(5)已知 3(3+五)4-2(x 2a)-4(x+a b)=0,求兄(1)-12a(2)5b(3)-a+5b-2c(4)13a 5五-4b例2 如图，已知筋=4靠，DE=4BC,试判断前与崩是 否共线.解：因为11=而+尻=4屈+4配=4(AB+BC)=4AC.所以前与屈共线.EACBD例3如图,A,B,C是平面内三个点，且A与B不重合，P是 平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数入，使得PC=2PA+(1-A)PB证明：如题干图，因为向量前与向量嵌共线，根据向 量共线定理可知前=2BA.即玩_而=；1(而_闻),PC=2PA+PB-2PB,PC=2PA+(l-2yPB.2.如图，在AABC中，AN=|NC,P是BN上的一点,若屈=mAB+4AC,则实数m的值为（D）AA.2_ B.C.2 D.3/111 11 H n/入/B 匕-C分析：由已知AABC中，AN=-NC,P是BN上的一点，设BP二ABN后，我们易将A嚎示为（1-入）ABi M 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于人,m的方程组，解方程组后即可得到m的值.1.在AABC 中，a 则而等于（D）AC二 且 BD=2n C,A.|a k+|K B.|+-K 3 3 3 3C.-|a T*+D.y-a*+y b2.若AP=|PS,AB=XBP,则实数人的值是（D）4 3 3 4A.t B.-7 C.7 D.-73 4 4 3二、向量的运算4、平面向量基本定理如果I，工2是同一个平面内的两个不共线向量,于这一平面内的任一向量Z,有且只有一对实数4,-4=4+丸2,25、平面向量基本定理的推论那么对4使设与，出是同一平面内两个不共线的向量(1)如果21。1+丸2。2=、11+、22,贝U 丸1=1,A2=X2(2)如果U+222=9则丸=0,丸2=0-总“盘丁比何少,丁(1)平面向量基本定理如果J,是同一平面内两个不共线向量，落 那么对于这一平面的任意向量a,f有且蒋暖一对实婺，,2,心使=4弓+为勺 林表示成：d +2 e 2 称它为向量的分解.当羡 记先相里看面产毓为向量的正交分解、如果瓦,耳是同一平面内的两个不共线向量，那么 对这一平面内的任一向量有且只有一对实数儿4，使 2=4 耳+%232说明：不共线的向量耳，a叫做这一平面内所有向量 的一组基底；(2)基底不唯一；一,不共线(3)任一向量不都可以沿两个不共线的方向(耳0的 方向)分解成两个向量(4亘，几2瓦)和的形式；(4)基底给定时，分解形式唯一.例3.已知ei和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（C）A.ei和ei+e2 B.2e2和e22eiC.2e2和42-2ei D.ei+e2和ee2【解题探究】判断两个向量能否作为基底的条件是什么?看这两个向量是否共线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底.练习.已知ei与e2不共线，a=ei+2e2,b=入ei+e2,且a与b是一组基底，则实数入的取值范围是.【解析】当ab时，设a=mb,则有ei+2e2=m（入ei+e2）,BPei+2e2=m 入 ei+me2,1 1所以。，解得入二二，即当入二二时，ab.2=m 2 2i 1又a与b是一组基底，所以a与b不共线，所以入2、1 1答案：（-8,-）IJ（,+）2 2例5如图，在。ABCD中，E,F分另I是BC,DC的中点，近=a,AD=用3,b表示B尸和。E.角冬雪I为生ABCD中，E,F分别是BC,DC的中点,且AB=W,AD=b.所以，前=而=己,而=一；四=_9，所以,而=前十次=U-竟，同理可得，万E=DC-EC=AB-AD=a-b.4.如图，在QABCD中，M,N分别是DC,BC的中点,已知 同=c,K=d,试用c,d表不 丽和心【解析】设AB=a,AD=b.由M,N分别为DC,BC的中点,得在 ABN和 ADM中，?2所以 AB=-(2d-c),AD=-(2c-d).二、向量的运算向量的夹角:两个非零向量Q和B，作刀二aOB=b，贝|J ZAOB=0(0-0 b Be=oAAA与B同向 与B反向“与B垂直，记作a.Lb二、向量的运算（四）向量的数量积1、平面向量数量积的定义:ab=a-bcosO2、数量积的几何意义：等于的长度|a|与否在a方向上的投影|cos 0的乘积.3、数量积的坐标运算crb=x1x2+yxy24、运算律：(1)a-b=b-a(2)(2a)-b=A(b)=(2b)(3)(a+b)-c=a-c+b-c二、向量的运算平面向量的数量积ab的性质：e,a=a,e=|a|cos0ab Oa b=0a,b同向ab=|a|b|反向时ab=|a|,|b|a2=a-a=|a|2()cos6=湍a-b|a|-|b|四、向量垂直的判定(1)a 1b=ab=。1 1 1 1(2)6.0 X.2 _%2融=0.其中.=(.X)力=(%2，.2)(2)+二，其中=(，弘)，b=乂,j2).五、向量平行的判定（共线向量的判定）(1)a/b b=Aa(a 0)-A-A-A-A 2六、向量的长度/、-2-/2 a-a=a，a=7 a 设=(x,y),则|=yjx2+y2(3)若X(x p 必)/(%2,%)，则AB=yj(x1-x2)2+(yt-y2)2七、向量的夹角a-b xrx2+yry2,11 J，+:例4已知单位向量，团的夹角为60,求向量 A A q=6+%，b-e2-2ex的夹角.解：由单位向量E的夹角为60,得幅=颌60。=；,_ _ _,_A-所以 a-b=(e+e2)-(e2-2e)=一2,q 4+%4=-2；+1=32又一 2 a1+2=,1+21 2+,2=3,一 2 b2 2=4,4,.4+%二3,所以 a=b=V3.设Z与否的夹角为o,由可得cos。=a-b-a b12又0。阳所以。.即向量z与右的夹角为期 a D 32.AABC中，赢.阮o,阮.菽o,则该三角形为（CA.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】由“阮0知NABC为锐角；由瓦.衣0知，NACB为钝角3在AABC中,M是线段BC的中点，AM=3,BC=10,则晶.=T6.4若|五|二1,1二2,且五,E反向，则五 6二一25.已知与的夹角为120。,|Z|=4,=2,求：|a+b|;|3a-4b.解:|a+B|=yj(a+b)2=yja2+2a*b+b2=J+2*4x 2x(-+2之=2a/J.3a-4b=J(3-4y=J/-2(31)(4)+(4旬2=J9x l6-24x 4x 2x(-1)+16x 4=4n/19.6.已知同3,由三，2庐工120,求瓦 解：=a,|5|cos=5X4Xcosl20=-10.7已知同=3,网=6,当all b,a_L b,五的夹角是60时，分别求了司加寸，不万=18；(2)aJ_ 和寸，a-6=0；与丽夹角是60。时，不人9.巩练习1、e2不共线，a=ei-2e2,b=3ei4e2.a与b是否共线。解:1/3/-2/(-4)a与b不共线。2.（2014江西高考）已知单位向量ep e2的夹角为a,且cosa=；,若向量a=3e Ze?,贝1 a=33.已知同=3,网=5,且/=-12,求在方向 上的正射影的数量及在方向上的正射影的1数量。一一解：因为 cos 0=,b,=_|-5所以方在5方向上的正射影的数量是 八 12a cosB=-b 5。在方向上的正反影的数量是 I 八 ab_ _ _ 八 CQSa4.已知直线，i：3x+4y-12=0和，2：7x+y-28=0,求直线乙和乙的夹 角.解:任取直线。和，2的方向向量_(3、一m=L和=(1,一7).1-1 设向量加与夹角为仇 因为加=加n cosO,从而1x1+义(-7)（3?x jy+（-7）I 4 7V 4J5.已知与的夹角为120。,|Z|=4,=2,求：|a+b|;|3a-4b.解:|a+B|=yj(a+b)2=yja2+2a*b+b2=J+2*4x 2x(-+2之=2a/J.3a-4b=J(3-4y=J/-2(31)(4)+(4旬2=J9x l6-24x 4x 2x(-1)+16x 4=4n/19.6.已知向量量（Lsin。）,B=（l,cos。）,则|已可的最大值为行.7.已知向量 3=(4,3)石=(-1,2)(1)求z与 石的夹角夕的余弦值.(2)若向量1位与2Z+B垂直，求人的值.解：(1)因为鼠 1=4x(1)+3*2=2,又|a|=J42+32=5,|S|=7(-1)2+22=a/5,匚匚 i、i 八 a,b 2 2 a/5-P/T LI C O Q rv=-二-=-练一练：求值设 a=(5,-7),b=(-6,-4),求 a.b.角牛:$=5,_6；必=_7,歹2 二 一4.所以a B=xxx2+yxy2=5x(-6)+(-7)x(-4)=30+28 o c=-2.区分好横纵坐标,准确代入数值，精心计算.典例例1已知=(3,2),3=(1,-1)，求向量与B的 夹角的余弦值.解：设向量Z与3的夹角为仇贝IJ3x l+2x(-l)V26cos 6=-.=-a/32+22 x12+(-1)2 26即向量Z与旗角的余弦值为回.26例2 0是坐标原点，0A=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,fc),当k为何值时,A,B,C三点共线.解:依题意，得AB=(4,5)-(k,12)=(4-A,-7),BC=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).要使A、B、C三点共线，只需前，就共线，根据本 节定理得(4-k)(k-5)-6(-7)=0,解得=一2或=11所以，当九=一2或=11时，A,B,C三点共线.1、已知4(2,3),B(3,5),求瓦?的坐标.解:瓦J=(2,3)-(-3,5)=(5,-2).2、已知四=(1,2),4(2,1),求3的坐标.解：设3(羽丫)，v AB=(1,-2)=(x,y)-(2,1),即1=x-2BPl-2=y-lx=3 y=-i即B(3,-1).3、|a|=10 b=(3厂4)且ab求a解 1 2=(3,4),问二5,/a-10,a|:.a=2b=2(3,一4)即9二(6,-8)或五二(-6,8)解2：设a=(x,y),贝(J，x2+y2=100_f、4x+3y=0-4、设=|b|=l 13a 2b|=3 贝!J|3a+b|=解 9a2+4b2-12a b=9.,1.ab=又(3 a+b)2=9a2+b2+6a-b=l 2.|3a+b|=2V35、已知即b都是非零向量，且a+3b与7a-5b 垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.W(a+3b)(7a-5b)=0,且(a-4b)(7a-2b)=0 7a2+16a b-15b2=0,且 7a2-30a b+8b2=0 角军得 2a b=b2,a2=b2.八 a-b _ 1 丁日 a,八csO=丽一于无0=60。6、已知AABC中,04 06=06 OC=OC 04则。是A45C的 心.解雨丽=丽灰nm丽-丽江=6,OB(OA-OC)=OOBCA=OOB1AC.同理0B14C故点。是4BC的垂心.B An Ar7mABC中，点P满足AP=4 1=1+1=1,20,IM kU则射线ZP一定经过（A）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心8、已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上 的动点，则族瓦的值为，旗加的最大解 DE-CB=DE DA=DEDA cos6 I一 一 一一一 a/=II cos。=|DA I,因此 DE-CB=|Q/=1./，一一一,I)C又 DE-DC=|DE|DC cos a=DE -cos a,而|DE|cos。就是向量DE在。边上的射影.当E点与B点重合时，。最大值为1.9、已知a=(3,-2)b=(-2J)c=(7,-4),用a、b表示c。解:c=m a+n b所以(7,-4m(3,-2)+n(-2,l)，3m-2n=7,r m=l5T T1-2m+n=-4,n=-2.c=a-2b