平面向量的加减法运算和数乘运算.doc

完整word)平面向量的加减法运算和数乘运算
课 题
平面向量的加减法运算和数乘运算
教 学
目 标
(1）了解平面向量的加法运算和减法运算
(2)了解平面向量的数乘运算
（3）了解向量线性运算的几何意义
重 点
难 点
(1）掌握向量加减法运算的的概念和方法
（2）熟练运用向量数乘运算
教学过程

回顾 ：对向量概念的理解
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；
既有大小又有方向的量，我们叫做向量,有二个要素：大小、方向。
向量不能比较大小;实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘.

知识点一 向量的加法
1、定义:
几何中向量加法是用 来定义的，一般有两种方法，即 （“首尾相接，首尾连”）和 （对于两个向量共线不适应）
如图,已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作,即

特殊情况：

对于零向量与任一向量,有
注意：（1)两相向量的和仍是一个向量；
（2)当向量与不共线时， +的方向不同向，且|+|〈｜|+｜|；
(3）当与同向时,则+、、同向,且|+｜=||+||;
当与反向时，若｜｜>||，则+的方向与相同，且|+｜=||-||，
若||〈||，则+的方向与相同，且｜+｜=|｜—｜|.
2、向量加法的交换律： +=+
3．向量加法的结合律：（+) +=+ （+）
证:

知识点二 向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法:
“相反向量”的定义： 记作
规定:零向量的相反向量仍是零向量-（-) =
任一向量与它的相反向量的和是零向量 + (-) =
如果、互为相反向量，则 = -, = -, + =
向量减法的定义:
向量加上的相反向量，叫做与的差，即： - = + （-）
2．用加法的逆运算定义向量的减法:

3．求作差向量：已知向量、，求作向量
∵（-) + = + (-) + = +=
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作= ， = , 则= -
即 - 可以表示为从向量的终点指向向量的终
点向量

知识点三 向量的数乘运算
1、定义：实数λ与向量的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：(1）｜λ｜=|λ｜||
(2）λ〉0时λ与方向相同；
λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2、运算定律 结合律：λ(μ)=
第一分配律:(λ+μ）= 　
第二分配律：λ（+)=
3、向量共线定理

经典例题

例1、下列命题错误的是（ ）
A 两个向量的和仍是一个向量
B 当向量a与向量b不共线时，a+b与a、b都不同向，且
C当向量a与向量b同向时，a+b、 a、b都同向，且
D 如果向量a=b，那么a、b有相同的起点和终点
例2、在矩形中，，,则向量的长等于（ ）
（A）2 （B） （C）3 (D）4

例3、若a与b的方向相反,且，则a+b的方向与a的方向 ；
此时
例4、已知向量、、、，求作向量-、-

例5、平行四边形中,，，用,表示向量、

例6、若3＋2＝，－3＝，其中，是已知向量，求，.

例7、如图,D、E、F是的边AB、BC、CA的中点，
则=

例8、在中，，M为BC的中点,则_______。(用表示）

训练

1、下面给出四个命题：
① 对于实数和向量、恒有：
② 对于实数、和向量，恒有
③ 若，则有
④ 若，则
其中正确命题的个数是（ ）
（A)1 （B）2 （C）3 （D）4

2、已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,且，，,则下列各式：①；②;③；④ ．
其中正确的等式的个数为

3、若a、b为非零向量，且,则（ )
A 、，且a与b方向相同 B 、a,b是共线向量
C 、a=—b D 、a，b无论什么关系均可

4、平面上有三点A 、B 、C，设，，若m、n的长度恰好相等，则有（ ）
A A、B、C三点必在同一直线上
B 必为等腰三角形且角B为顶角
C 必为直角三角形且角B为直角
D 必为等腰直角三角形

5、在中，D是BC的中点，设， 则d-a= ；d+a=