清华大学物理课件：第八章 晶体的能带结构.pdf

第八章 固体的能带结构第八章晶体的能带结构刖B物理学前言之一材料的性质大规模集成电路 半导体激光器 超导人工微结构从STM得到的硅晶体表面的原子结构图 28.1晶体的能带一.电子共有化晶体具有入量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。电子受到周期性势场的作用。按量子力学须解定态薛定格方程。3解定态薛定格方程（略），可以得出两点重要结论：L电子的能量是分立的能级；2.电子的运动有隧道效应。原子的外层电子（高能级），势垒穿透概率 较大，电子可以在整个晶体中运动，称为 共有化电子。原子的内层电子与原子核结合较紧，一般 不是共有化电子。4 能带(energy band)量子力学计算表明，晶体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于 原来孤立原子的每一个能级，在晶体中变 成了 N条靠得很近的能级，称为能带。5能级能带能带的宽度记作AE,数量级为AE-eVo若AM 023,则能带中两能级的间距约10-23eV o 一般规律：L越是外层电子，能带越宽，AE越大。2.点阵间距越小，能带越宽，AE越大。3.两个能带有可能重叠。60 离子间距能带重叠示意图7三.能带中电子的排布晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。排布原则：L服从泡里不相容原理（费米子）2.服从能量最小原理设孤立原子的一个能级E/,它最多能容 纳2（21+1）个电子。这一能级分裂成由N条能级组成的能带后,能带最多能容纳2NQ/+1）个电子。82N(2/+1)例如，Is、2 s能带，最多容纳2N个电子。2p、3 P能带，最多容纳6N个电子。电子排布时，应从最低的能级排起。有关能带被占据情况的几个名词:1.满带（排满电子）2.价带（能带中一部分能级排满电子）亦称导带3.空带（未排电子）一亦称导带4.禁带（不能排电子）98.2（补充）布洛赫定理左空间一.布洛赫定理一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。10在一维情形下，周期场中运动的电子能量E的 和波函数”a(x)必须满足定态薛定谖方程力2 d22m dx2+/(*)笆(x)=万(A)Wk(x)(1)k表示电子状态的角波数一周期性的势能函数，它满足V(x)=V(x+na)a-晶格常数n 一.任意整数11布洛赫定理：满足(1)式的定态波函数必定具有如下的特殊形式 ik(x)=eikxuk(x)(2)式中以(x)也是以为周期的周期函数，即 uk(x)=%(x+no)*具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数,或布洛赫函数。注*:关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅固体物理学黄昆原著韩汝琦改编(1988)P15412布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数与一个具有 晶体结构周期性的函数W（x）的乘积。它是按照晶格的周期调幅的行波。这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。只有在以（X）等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。13.周期性边界条件实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件:设一维晶体的原子数为N,它的线度为L=Na,则布洛赫波函数儿(刈应满足如下条件i/k(x)=i/k(x+Na)(3)此式称为周期性边界条件。采用周期性边界条件以后，具有N个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数的 波数A只能取一些特定的分立值。证明如下：由周期性边界条件 匕(X)=6(x+N)(3)按照布洛赫定理：左边为%(x)=/”(*)右边为 甲 k(x+Na)=eikx+Nauk(x+Na)=eikNaeikxuk(x)=eikNyk(x)所以 eikNa=1kNa=ln7i(n=0,l,2,)即周期性边界条件使k只能取分立值：2万 27rk=n2=n(=0,1,2,)Na L 16k-n n n-0,+l,+2,）Na L人是代表电子状态的角波数，是代表电子状态的量子数。对于三维情形，电子状态由一组量子数（%、y、%）来代表。它对应一组状态角波数（段、号、）。一个k对应电子的一个状态。17三.k空间我们以 勺、勺、也 为三个直角坐标轴，建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、k空间，或动量空间*。在左空间中，电子的每个状态可以用一个状态点来表示，这个点的坐标是&=?(“X=0,1,2,)ky=Yny(%=0,1,2,)kz=nz.=0,1,2,)注：由于德布洛意关系P，即7=力后，所以k空间也称为动量空间。nkx=(nx=0,1,2,)上式告诉我们；沿空间的每个坐标轴方向，电子的相邻两个状态点之间的距离都是今0 因此/空间中每个状态点所占的体积为(曾3。图3表示二维斤空间每个点所占的面积是 多图3二维元空间 示意图19 8.3克朗尼格朋奈模型 能带中的能级数目能带理论是单电子近似理论。它把每个电子的 运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。周期性边界条件的 引入，说明了电子的状态是分立的。现在再来说明电子的能量有什么特点？一.克朗尼格-朋奈模型下面我们通过一个最简单的一维周期场 克朗尼格-朋奈(Kroning-Penney)模型来说明 晶体中电子的能量特点。20克朗尼格-朋奈模型是把图1的周期场简化为 图4所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的 周期势场中运动。图4克朗尼格-朋奈模型在0VXV4 一个周期的区域中，电子的势能为u(x)=J(0 xe)Uo(c x duk3+Zik-+d x dx=22利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理(自然)条件，进行一些必要的推导和简化，最后可以得出下式(maUQbysm(fia“、/八 一一+cos()=cos(A:a)(4)式中(3=1h而 k=是电子波的角波数*。(4)式就是电子的能量E应满足的方程，也是电子 能量E与角波数k之间的关系式。注*:有兴趣的读者可参阅固体物理基础 蔡伯熏编(1990)P268o23(maUbhA/3a)-L-+cos()=cos(Ara)(4)I 力)P a(4)式的左边是能量E的一个较复杂的函数，记作/()；右边是角波数九的函数。由于 coska 1的E值 都不满足方程。下图5为 给出了一定的、(4数值后的艇)：24f(E)图5 烟函数图由图看出，在允许取的E值（暂且称为能级）之间,有一些不允许取的E值（暂且称为能隙）。下面的图6为七九曲线的某种表达图式。253ti 2 7i 7i 2 3兀 ka a aEk曲线的表达图式图626图中 为“许可的能量”，称为能带*。两个相邻能带之 间的能量区域称 为禁带。晶体中电子的能量 只能取能带中的数 值，而不能取禁带 中的数值。知7 如 -fl O7 6,54321E九曲线的表达图式27(maUQbysm(fia)iO.、/八2 -L+8s(0a)=cos(ka)(4)E左曲线与有关、与乘积有关。乘积4。反映了势垒的强弱。计算表明：M力的数值越大所得到的能带越窄。由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大，与外层电子相比，它们的势垒强度较大。所以，内层电子的能带较窄。外层电子的能带较宽。28从石左曲线还可以 看出：左值越大，相应的能带越宽。,2乃 2乃/k=n-=n Na L(n=0,1,2,)由于晶体点阵常数。越小，相应于4值越大。因此，晶体点阵常数 越小，能带的宽度就越大。7 6,54321九曲线的表达图式有的能带甚至可能出现重叠的现象。这些都与 8.1节“概述”中介绍的结论是一致的。-29-.能带中的能级数晶体中电子的能量不能取禁带中的数值，只能取能带中的数值。由图5可以看出：77 7T第一能带4的取值范围为一二tt tt 2tt第二能带左的取值范围为第三能带九的取值范围为一网n亥，网n也 a a a a2 77每个能带所对应的k的取值范围都是*。注*:我们把以原点为中心的第一能带所处的左值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 人值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。30每个能带所对应的左的取值范围都是:O而在兄空间每个状态点所占有的长度为 葺，因此，每一能带中所包含的(状态数)能级数为27r 27r 2 万 27r 土=+=N a L a Na所以，晶体中电子的能带中有N个能级。电子在晶体中按能级是如何排布的呢？电子是费密子，它的排布原则有以下两条：(1)服从泡里不相容原理(2)服从能量最小原理31对于孤立原子的一个能级Er按照泡里不相容原理,最多能容纳2(2/+1)个电子。在形成固体后，这一能级分裂成由N条能级组成 的能带了，它最多能容纳的电子数为2N(2/+1)个。例如，对孤立原子的IS、2s能级，在形成固体后相应 地成为两个能带。它们最多能容纳的电子数为2N个。对孤立原子的2P、3 P能级，在形成固体后也相应地 成为两个能带。它们最多能容纳的电子数为6N个。电子排布时还得按照能量最小原理 从最低的能级排起。32孤立原子的内层电子能级一般都是填满的，在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也 可能未填满了电子。若原来填满电子的，在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。若原来未填满电子的，在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。若孤立原子中较高的电子能级上没有电子，在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。33排满电子的能带称为满带；排了电子但未排满的称为未满带（或导带）；未排电子的称为空带；（有时也称为导带）；两个能带之间的禁带是不能排电子的。34 8.4导体和绝缘体(conductor.insulator)晶体按导电性能的高低可以分为绝缘体它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。导体导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。E从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。37绝缘体在外电场的作用下，共有化电子很难接 受外电场的能量，所以形不成电流。从能级图上来看，是因为满带与空带之间 有一个较宽的禁带（AEg约36 eV）,共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到 高能级（空带）上去。半导体的能带结构,满带与空带之间也是禁带,但是禁带很窄（AEg 0.1-2 eV）o38绝缘体与半导体的击穿当外电场非常强时，它们的共有化电子还是 能越过禁带跃迁到上面的空带中的。导体398.5 半导体的导电机构一 本征半导体(semiconductor)本征半导体是指纯净的半导体。本征半导体的导电性能在导体与绝缘体 之间。介绍两个概念:1.电子导电半导体的载流子是电子 在外电场的作用下，满带上的电子获得能量，越过禁带，跃迁到空带上去。这叱跃迁到空带 上去的电子在半导体中逆着电场方向集体定向 流动而形成电流，这称为电子导电。402.空穴导电半导体的载流子是空穴当满带上的一个电子跃迁到空带后，满带中出现 一个空位。在满带上这空位下面能级上的电子,又可以跃迁 到这空位上来，而在自己原来的位置上又留下一个 空位；在满带上这新空位下面能级上的电子,又 可以跃迁到这空位上来，而在自己原来的位置上 又留下一个空位；一一这相当于满带上空位向下跃迁。好象有带正电的粒子向下跃迁，顺着电场方向集 体定向流动。我们常常把满带上空位向下跃迁 相应的电流称为空穴导电。41电子和空穴总是 成对出现的。所以，本征半导体中既有电子导电，又有空穴导电。思考：为什么 半导体的电阻 随温度升高而 降低？空带42例.半导体Cd S八hvAAAAZiE=2.42eVc)V满带43上例中，对半导体Cd S,能激发电子的光波 波长最大多长？AE =hv=6.63x10-343sx3 xl0%/2.42erxl.6xlO-19C=514nm44.杂质半导体Ln型半导体四价的本征半导体Si、Gj等，掺入少量 五价的杂质（impurity）元素（如P、As 等）形成电子型半导体，称n型半导体。量子力学表明，这种掺杂后多余的电子的 能级在禁带中紧靠空带处,/正刀10-2eV,极易形成电子导电。该能级称为施主（donor）能级。45n型半导体产带施王能级满带在n型半导体中电子多数载流子空穴少数载流子2.p型半导体四价的本征半导体Si、Ge等，掺入少量 三价的杂质元素（如B、Ga、In等）形成空穴型半导体，称p型半导体。量子力学表明，这种掺杂后多余的空穴的 能级在禁带中紧靠满带处，AE。10-2eV,极易产生空穴导电。该能级称受主（acceptor）能级。47P型半导体在P型半导体中空穴多数载流子空带受主能级 AEg满带 AE,电子少数载流子483.n型化合物半导体例如，化合物GaAs中掺Te,六价的Te 替代五价的As可形成施主能级，成为n型GaAs杂质半导体。4.p型化合物半导体例如，化合物GaAs中掺Zn,二价的Zn 替代三价的Ga可形成受主能级，成为p型GaAs杂质半导体。49三.杂质补偿作用实际的半导体中既有施主杂质（浓度为），又有受主杂质（浓度时）,两种杂质有补偿作用：若 为n型（施主）若/%为p型（受主）利用杂质的补偿作用,可以制成P-N结。50 8.6 P-N结一P-N结的形成在一块n型半导体 基片的一侧掺入较 高浓度的受主杂质,由于杂质的补偿作 用，该区就成为P 型半导体。由于N区的电子向 P区扩散，P区的空穴向N区扩散，P型 n型外土引引 0PN结在P型半导体和N型半导体的交界面附近产 生了一个电场，称为内建场。51内建场阻止电子 和空穴进一步扩 散，记作立叩。内建场大到一定 程度，不再有净电 荷的流动，达到了新的平衡。在P型n型交界面 附近形成的这种特 殊结构称为P-N结,约 0.1|nm厚。P型 n型P-N结P-N结处存在电势差U。52P-N结处存在电势差U。它阻止P区带正电的空穴进 一步向N区扩散；也阻止N区 带负电的电子进 一步向P区扩散。考虑到P-N结的存在，半导体中电子的能量 应考虑进这内建场带 来的电子附加势能.P-N结电势曲线P区电子能级电子电势能曲线53考虑到P-N结的存在，半导体中电子的能量 应考虑讲这内建场带来的电子附加势能。于是电子的能带出现弯曲现象。54P-N结的单向导电性1.正向偏压在P-N结的p型区接 电源正极，叫正向偏压。月阻p型:n型阻挡层个垒被削弱、变窄,有利于空穴 向N区运动，电子向P区运动，形成正向电流（mA级）。55外加正向电压越大，正向电流也越大，而且是呈非线性的 伏安特性（图为错管）。-3 0/武毫安）562.反向偏压在P-N结的p型区接电源负极,叫反向偏压。En型p型E阻11-i F阻挡层势垒增 大、变宽，不 利于空穴向N 区运动，也不 利于电子向P 区运动，没有正 向电流。57但是，由于少数 载流子的存在，会形成很弱的反 向电流，称为漏电流（|liA 级）。当外电场很强，反向电压超过某一数值后,反向电流会急剧增大-反向击穿。58利用P-N结可以作成具有整流、开关等作用的晶体二极管（diode）。598.7半导体的其他特性和应用 热敏电阻（自学）光敏电阻（自学）温差电偶（自学）集成电路：P-N结的适当组合可以作成具有放大 作用的晶体三极管（trasistor）,以 及其他一些晶体管。601947年12月23日，美国 贝尔实验室的半导体小 组做出了世界上第一只 具有放大作用的 点接触型晶体三极管。固定针Ge晶片固定针B探针1956年小组的三位成员获诺贝尔物理奖。巴丁布拉颠The Invention!晶体管的发明62后来，晶体管又从点接触型发展到面接触型。PPb电信号R0|晶体管比真空电子管体积小，重量轻，成本低，可靠性高，寿命长，很快成为 第二代电子器件。3集成电路大规模集成电路超大规模集成电路下图为INMOS T900微处理器：每一个集成块（图中一个长方形部分）约为手指甲大小，它有300多万个三极管。64T IPlates 31 B/he INMOS900 t ransist or microprocessor a chip about t he size of a finger“ail,which has more t han 3 million working t ransist ors.(Photograph reproduced courtesyJS I-55半导体激光器半导体激光器是光纤通讯中的重 要光源，在创建信息高速公路的 工程中起着极重要的作用。下面是最简单的GaAs同质结半导体激光器,其核心部分是p 型 GaAs 和 n 型 GaAs构成的P-N结（通过掺杂补偿工艺制得）。66典型尺寸:长上=250500|Lim 宽 w=5 10|Ltm 厚d=010.2|iim它的激励能源 是外加电压（电泵）.在正向 彳扁压卞工作。有大量载流子跃迁 到较高能量的能级上。(p+)Ga As(n-)Ga As67当正向电压大到一定程度时,在某些特定的能级之间造成 粒子数反转的状态，形成电子与空穴复合发光。由自发辐射引起受激辐射。.P-N结本身就形成一个 光学谐振腔，它的两个 端面就相当于两个反射镜，形成激光振荡。(p+)Ga As适当镀膜后可达到所要求的 很高的反射系数，并利于选频。68半导体激光器的特点：体积小成本低效率高制造方便极易与光纤接合功率可达102 mW所需电压低（只需L5V）第八章晶体的能带结构结束69