1、3-2-1《数系的扩充与复数的引入》习题
第1课时 复数加、减法与乘法的运算法则
1．若z1＝3－2i，z2＝1＋3i，则z1－2z2＝________.
答案 1－8i
2．(－6＋4i)(－6－4i)＝________.
答案 52
3．如果复数(m2＋i)·(1＋mi)是实数，则实数m＝__________.
解析 ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(1＋m3)i∈R
∴1＋m3＝0 ∴m＝－1.
答案 －1
4．已知复数z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，若z1·z2的实部与虚部相等，则实数m＝________.
解析 z1·z2＝(1＋2i)[m
2、＋(m－1)i]
＝m＋(m－1)i＋2mi－2(m－1)＝(2－m)＋(3m－1)i，
∵2－m＝3m－1，∴m＝.
答案
5．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)．若z1－z2＝4，则a＋b＝__________.
解析 z1－z2＝a＋3b＋(a－b－1)i＝4，
∴
∴a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.
答案 3
6．计算：
(1)(－＋i)－[(－)＋(＋i)]＋(－i＋)；
(2)(1－2i)(2＋i)(3－4i)；
解 (1)原式＝(－－＋＋)＋(－－－)i＝－2i.
(2)原式＝(2－2i2－4i＋i)(3－4i)
＝(
3、4－3i)(3－4i)＝12＋12i2－9i－16i＝－25i.
7．复数(3i－1)i的共轭复数是__________．
解析 (3i－1)i＝－3－i，则共轭复数为－3＋i.
答案 －3＋i
8．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.
解析 z2－2z＝(z－1)2－1＝(i)2－1＝－3.
答案 －3
9．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于__________．
解析 由于x是纯虚数，可设x＝bi(b∈R，b≠0)，将其代入2x－1＋i＝y－(3－y)i得－1＋(2b＋1)i＝y－(3－y)i，
∴解得
∴x＋y＝－
4、1－i.
答案 －1－i
10．已知复数z满足＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝__________.
解析 设z＝a＋bi，(a，b∈R)则a－bi＋1＋2i＝10－3i，
即
∴a＝9，b＝5. ∴z＝9＋5i.
答案 9＋5i
11．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且＝13＋2i，求z1，z2.
解 z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
5、
∴＝(5x－3y)－(x＋4y)i.
又＝13＋2i，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
12．已知z＝1＋i，＝1－i，求实数a，b的值．
解 ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，z2－z＋1＝i，
z2＋az＋b＝(a＋b)＋(a＋2)i，
∴z2＋az＋b＝(1－i)i＝1＋i，
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
∴解得
13．(创新拓展)已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b ＝(a＋2z)2.
解 ∵z＝1＋i，
∴az＋2b ＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i
＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a，b都是实数，
∴由az＋2b ＝(a＋2z)2，
得
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.
∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
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