吉林大学高职高专《高等数学》第04章.ppt

第四章 微分中值定理与导数的应用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三节第三节 函数函数单调性的判别法单调性的判别法第四节第四节 函数的函数的极值及其求法极值及其求法第五第五节节 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值第六节第六节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点第七节第七节 函数图形的描绘函数图形的描绘1第一节 微分中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理2罗尔定理 设函数 f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.一、罗尔中值定理3罗尔定理几何意义：4例例.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由零点定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设5定理 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.二、拉格朗日中值定理6几何意义：几何意义：如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.弦线的方程为7教材教材P70P708例例2.证明不等式证证:设中值定理条件,即因为故因此应有9例例3.证明等式证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上10定理 设函数f(x)与g(x)满足：(1)在闭区间a,b上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，则至少存在一点在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.三、柯西中值定理（可略）11柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,14第二节 洛必达法则一、一、型不定式型不定式二、二、型不定式型不定式三、其他三、其他类型不定式类型不定式15微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化(或 型)本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则16不定式不定式17一、型未定式定理定理11819【例例1 1】【例例2 2】【例例3 3】【例例4 4】教材教材P74P74【例例5 5】【例例6 6】二、型未定式定理定理22021【例例7 7】【例例8 8】【例例9 9】【例例1010】教材教材P76P76三、其他类型未定式例例1 1解解解法：解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型决的类型22例例2 2解解23例例3 3解解24洛必达法则洛必达法则2526教材教材P77P77习题习题4-24-21 1、2 2、3 3、4 4第三节 函数单调性的判定方法 问题的提出问题的提出若若 在区间（在区间（a,b)上单调增加上单调增加若若 在区间（在区间（a,b)上单调减少上单调减少27定理定理（函数单调性判定方法）函数单调性判定方法）28教材教材P78P78【例例1 1】【例例2 2】29教材教材P79P79判别单调性的方法：判别单调性的方法：1 1、求出函数的导数、求出函数的导数2 2、求出一阶导数等于零的点、求出一阶导数等于零的点(驻点驻点)，导数不存在的点，导数不存在的点(尖点尖点)，区间的端点等特殊点区间的端点等特殊点3 3、根据上面的点把函数的定义区间分为若干部分，画出表格、根据上面的点把函数的定义区间分为若干部分，画出表格4 4、由表格给出结论、由表格给出结论【例例3 3】【例例4 4】【例例5 5】函数函数单调性的应用单调性的应用30教材教材P80P8031典型例题选讲典型例题选讲32典型例题选讲典型例题选讲33教材教材P80P80习题习题4-34-31 1、2 2、3 3、4 4第四节 函数的极值及其求法一、一、函数极值的定义函数极值的定义二、函数极值的判定及求二、函数极值的判定及求法法34一、函数极值的定义35教材教材P81P8136二、函数极值的判定及求法37教材教材P82P823839教材教材P83P83求极值的步骤求极值的步骤:4041教材教材P83P83【例例1 1】【例例2 2】【例例3 3】教材教材P84P84习题习题4-44-41 1、2 2、3 3第五节第五节 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值一、一、函数的最大值和最小值的求法函数的最大值和最小值的求法二、最大值和最小值二、最大值和最小值的应用问题的应用问题42一、函数的最大值和最小值的求函数的最大值和最小值的求法法43则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到。闭区间上连续函数的最值闭区间上连续函数的最值44步骤步骤:1.求驻点：求驻点：3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2.求不可导点求不可导点：4.比较（比较（3）中函数值大小）中函数值大小,最大的便是最大最大的便是最大值值,最小的便是最小值最小的便是最小值;4546【例例1 1】教材教材P85P85【例例2 2】47二、最大最大值和最小值值和最小值的应用问题的应用问题还要指出，在实际问题中，往往根据问题的性质就可断定可导函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得.此时,如果f(x)在定义区间内只有一个驻点x0,那么不必讨论f(x0)是否为极值,就可断定f(x0)一定是所求的最大值或最小值(k 为某一常数)例例3.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20解解:设则令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,4849【例例4 4】教材教材P88P88教材教材P88P88习题习题4-54-51 1、2 2、3 3第六节 曲线的凹凸性与拐点一、曲线凹凸一、曲线凹凸性及其性及其判定法判定法二、曲线的拐点及求法二、曲线的拐点及求法50一、曲线凹凸性及其判定法51教材教材P88P8852凹凸性的等价定义凹凸性的等价定义53【例例1 1】教材教材P90P90【例例2 2】二、曲线的拐点及求法54拐点的求法拐点的求法:5556【例例3 3】教材教材P90P90【例例4 4】【例例5 5】【例例6 6】教材教材P92P92习题习题4-64-6、1 1、第七节 函数图形的描绘一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘57一、曲线的渐近线渐近线渐近线58（1 1）水平渐近线）水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:59（2 2）垂直渐近线）垂直渐近线60例如例如有垂直渐近线有垂直渐近线两条两条:61二、函数图形的描绘一般步骤：一般步骤：(1)确定函数的定义域，并讨论函数周期性、确定函数的定义域，并讨论函数周期性、奇偶性；奇偶性；（2）讨论函数的单调性，极值点和极值；）讨论函数的单调性，极值点和极值；（3）讨论函数图形的凹凸区间和拐点；）讨论函数图形的凹凸区间和拐点；（4）讨论函数图形的水平和垂直渐近线；）讨论函数图形的水平和垂直渐近线；（5）根据需要补充函数图形上的若干点（如）根据需要补充函数图形上的若干点（如与坐标轴的交点等）；与坐标轴的交点等）；（6）描点绘图）描点绘图62教材教材P93P9363教材教材P93P93【例例1 1】【例例2 2】教材教材P95P95习题习题4-74-71 1、2 2复复 习习 题题 四四