【助力高考】2019年高考数学专题复习第13讲《导数的概念及运算》(含详细答案和教师用书).doc

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！
【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料
第三章 导数及其应用
第13讲 导数的概念及运算
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 或 ，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的 ，记作 或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ ．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝
f(x)＝sin x
f′(x)＝
f(x)＝cos x
f′(x)＝
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝ ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ ；
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积．
◆◆◆名师提醒◆◆◆
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

★★★高考典例剖析★★★
考点一、导数的计算
例1：（2018•天津）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 ．
解：函数f（x）=exlnx，
则f′（x）=exlnx+•ex；
∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．
故答案为：e．
♥♥♥方法技巧♥♥♥
导数计算的技巧
(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．
(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

♦♦♦跟踪训练♦♦♦
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ .

考点二、导数的几何意义
命题点①求切线方程
例2：（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）
A．y=-2x B．y=-x
C．y=2x D．y=x
解：函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
♦♦♦跟踪训练♦♦♦
4．曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为 ．
5．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
命题点②求参数的值
例3：直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝ .
解：　由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，
则
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
♦♦♦跟踪训练♦♦♦
6．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝ .
命题点③导数与函数图象
例3：已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)

答案：　B
解：　由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
♦♦♦跟踪训练♦♦♦
7．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .

♥♥♥方法技巧♥♥♥
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．

♦♦♦跟踪训练♦♦♦
8．(2017·山西孝义模拟)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是 ．
9．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝ .
☀☀☀感悟高考☀☀☀
分析课程标准和近五年的高考试题，可以发现高考命题主要集中在：导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解：几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度，通过近五年考题的规律，可以预测2019年高考试题中，导数的几何意义为重点进行考查。

★★★知能达标演练★★★
一、选择题
1．（2018•德阳模拟）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（　　）
A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数
B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数
C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数
D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数
2．若f（x）=xex1，则f′（1）=（　　）
A．0 B．e+1
C．2e D．e2
3．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)

5．函数f（x）=xlnx+2f'（1）x，则f（1）=（　　）
A．-2 B．− C．-1 D．
6．(2017·西安质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
7．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
8．(2018·广州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e B．－e C. D．－
9．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　)
A．1秒末 B．1秒末和2秒末
C．4秒末 D．2秒末和4秒末
10．（2018•延安模拟）己知函数f（x）= +sinx，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（-2018）+f′（2019）-f′（-2019）=（　　）
A．2 B．2019
C．2018 D．0
11．（2018•青羊区校级模拟）若函数y=f（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y=f（x）为“t函数”．下列函数中为“2函数”的个数有（　　）
①y=x-x3                  ②y=x+ex               ③y=xlnx                ④y=x+cosx
A．1个 B．2 个

C．3 个 D．4个
二、填空题
12．(2017·西安模拟)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ .
13．(2018届云南红河州检测)已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则a＝ .
14．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为 ．
15．(2018·成都质检)已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为 ．(用“<”连接)
16．(2017·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为 ．
17．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
18．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．

19．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

20．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

21．(2018·福州质检)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

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第三章 导数及其应用
第13讲 导数的概念及运算
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0) 或 ，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的 导函数 ，记作 f′(x) 或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ f′(x0) ．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ －sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝ axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′ ，即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
★★★高考典例剖析★★★
考点一、导数的计算
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1．答案：　B
解：　f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2．答案：　B
解：　f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
3．答案：　－4
解：　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.
考点二、导数的几何意义
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4．答案：　2x＋y＋1＝0
解：　根据题意可知切点坐标为(0，－1)，
f′(x)＝＝，
故切线的斜率k＝f′(0)＝＝－2，
则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，
即2x＋y＋1＝0.
5．答案：　x－y－1＝0
解：　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由
解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点②求参数的值
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6．答案：　－2
解：　∵f′(x)＝，

∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
∴m＝－2.
命题点③导数与函数图象
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7．答案：　0
解：　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
♦♦♦跟踪训练♦♦♦
8．答案：　y＝0或4x＋y＋4＝0
解：　设切点坐标为(x0，x)，
∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
∴x＝2x0(x0＋1)，
解得x0＝0或x0＝－2，
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
9．答案：　－1
解：　∵y′＝，
由条件知＝－1，∴a＝－1.
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分析课程标准和近五年的高考试题，可以发现高考命题主要集中在：导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解：几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度，通过近五年考题的规律，可以预测2019年高考试题中，导数的几何意义为重点进行考查。

★★★知能达标演练★★★
一、选择题
1．答案：　B
解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误；
对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），
f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确；
对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误；
对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误；
故选：B．
2．答案：　C
解：∵f（x）=xex+1，则f′（x）=（x+1）ex，
则f′（1）=2e，
故选：C．
3．答案：　C
解：　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)
＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．
4．答案：　C
解：　原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；
当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.
5．答案：　A
解：根据题意，函数f（x）=xlnx+2f'（1）x，
其导数f′（x）=1+lnx+2f'（1），
令x=1可得：f′（1）=1+2f'（1），
解可得f′（1）=-1；
∴f（1）=0-2=-2
故选：A．
6．答案：　C
解：　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
7．答案：　D
解：　∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.
8．答案：　C
解：　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，
设切点为(x0，ln x0)，则
切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，
因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，
解得x0＝e，故此切线的斜率为.
9．答案：　D
解：　s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，
令s′(t)＝0，得t＝2或4，
即2秒末和4秒末的速度为零．
10．答案：　A
解：函数f（x）=+sinx=sinx++1，
设g（x）=sinx+，
则g（-x）=sin（-x）+=-（sinx+）=-g（x），
即g（-x）+g（x）=0，即f（-x）+f（x）=2，
则f（2018）f（-2018）=g（2018）+1+g（-2018）+1=2，
又f′（x）=g′（x），
由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，
可得f′（2019）-f′（-2019）=g′（2019）-g′（-2019）=0，
即有f（2018）+f（-2018）+f′（2019）-f′（-2019）=2，
故选：A．
11．答案：　B
解：①函数的导数y′=1-3x2，由、1-3x12+1-3x22=2，
得3x12+3x22=0，得x1=x2=0矛盾，不是“2函数”；
②y=x+ex的导数为y′=1+ex，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2，不是“2函数”；
③y′=lnx+x• =lnx+1，由lnx1+1+lnx2+1=2，lnx1lnx2=0，即lnx1x2=0，
得x1x2=1，只要x1≠x2即可，则是“2函数”；
④y=x+cosx的导数为y′=1-sinx，若1-sinx1+1-sinx2=2，即sinx1=-sinx2，
此时有无数多个解，是“2函数”；
故③④是“2函数”；
故选：B．
二、填空题
12．答案：　3
解：　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
13．答案：　1－e
解：　因为f′(x)＝ln x＋1，
所以曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，
则曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e.
由于切线与曲线y＝x2＋a相切，
故y＝x2＋a可联立y＝2x－e，
得x2－2x＋a＋e＝0，
所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e.
14．答案：　x＋4y－2＝0
解：　y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2 ＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.
15．答案：　(1)1　(2)h(0)得f′(x)＝x，g′(x)＝x2，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝x，
g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，
故a＝，b＝0，d＝，e＝m＝0，
所以f(x)＝x2＋c，g(x)＝x3＋n，
由f(1)＝1，得c＝，
则f(x)＝x2＋，故f(－1)＝1.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋c－n，
则有h(－1)＝＋c－n，h(0)＝c－n，
h(1)＝＋c－n，故h(0)知y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，当点P是曲线的切线中与直线y＝x－2平行的直线的切点时，点P到直线y＝x－2的距离最小，如图所示．故令y′＝2x－＝1，解得x＝1，故点P的坐标为(1,1)．故点P到直线y＝x－2的最小值dmin＝＝.
17．答案：　[2，＋∞)
解：　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．
三、解答题
18．解：　易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，
由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意知Δ＝－4a＝0，得a＝.
综上，a＝1或a＝.
19．解：　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
20．解：　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，

由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
21．解：　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是　解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.

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第三章 导数及其应用
第13讲 导数的概念及运算
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0) 或 ，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的 导函数 ，记作 f′(x) 或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ f′(x0) ．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ －sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝ axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′ ，即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
◆◆◆名师提醒◆◆◆
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

★★★高考典例剖析★★★
考点一、导数的计算
例1：（2018•天津）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 ．
解：函数f（x）=exlnx，
则f′（x）=exlnx+•ex；
∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．
故答案：为：e．
♥♥♥方法技巧♥♥♥
导数计算的技巧
(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．
(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

♦♦♦跟踪训练♦♦♦
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
答案：　B
解：　f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
答案：　B
解：　f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ .
答案：　－4
解：　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.
考点二、导数的几何意义
命题点①求切线方程
例2：（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）
A．y=-2x B．y=-x
C．y=2x D．y=x
解：函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
♦♦♦跟踪训练♦♦♦
4．曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为 ．
答案：　2x＋y＋1＝0
解：　根据题意可知切点坐标为(0，－1)，
f′(x)＝＝，
故切线的斜率k＝f′(0)＝＝－2，
则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，
即2x＋y＋1＝0.
5．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
答案：　x－y－1＝0
解：　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由
解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点②求参数的值
例3：直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝ .
解：　由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，
则
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
♦♦♦跟踪训练♦♦♦
6．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝ .
答案：　－2
解：　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
∴m＝－2.
命题点③导数与函数图象
例3：已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)

答案：　B
解：　由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
♦♦♦跟踪训练♦♦♦
7．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .

答案：　0
解：　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
♥♥♥方法技巧♥♥♥
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．

♦♦♦跟踪训练♦♦♦
8．(2017·山西孝义模拟)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是 ．
答案：　y＝0或4x＋y＋4＝0
解：　设切点坐标为(x0，x)，
∵f′(x)＝2x∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
∴x＝2x0(x0＋1)，
解得x0＝0或x0＝－2，
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
9．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝ .
答案：　－1
解：　∵y′＝，
由条件知＝－1，∴a＝－1.
☀☀☀感悟高考☀☀☀
分析课程标准和近五年的高考试题，可以发现高考命题主要集中在：导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解：几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度，通过近五年考题的规律，可以预测2019年高考试题中，导数的几何意义为重点进行考查。

★★★知能达标演练★★★
一、选择题
1．（2018•德阳模拟）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（　　）
A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数
B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数
C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数
D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数
答案：　B
解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误；
对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），
f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确；
对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误；
对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误；
故选：B．
2．若f（x）=xex+1，则f′（1）=（　　）
A．0 B．e+1
C．2e D．e2
答案：　C
解：∵f（x）=xex+1，则f′（x）=（x+1）ex，
则f′（1）=2e，
故选：C．
3．函数f(x)＝(x＋2a)(x－