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遗传算法求解VRP问题的技术报告

摘要：本文通过遗传算法解决基本的无时限车辆调度问题。采用车辆和客户对应排列编码的遗传算法，通过种群初始化，选择，交叉，变异等操作最终得到车辆配送的最短路径。通过MATLAB仿真结果可知，通过遗传算法配送的路径为61.5000km,比随机配送路径67km缩短了5.5km。此结果表明遗传算法可以有效的求解VRP问题。
一、 问题描述
1.问题描述
车辆调度问题（Vehicle Scheduling/Routing Problem,VSP/VRP）的一般定义为[1]：对一系列送货点和/或收货点，组织适当的行车路线，使车辆有序地通过它们，在满足一定的约束条件（如货物需求量、发送量，送发货时间、车辆容量限制、行驶里程限制、时间限制等）下，达到一定的目标（如路程最短、费用极小、时间尽量少、使用车辆数尽量少等）。问题描述如下[2]：有一个或几个配送中心，每个配送中心有种不同类型的车型，每种车型有辆车。有一批配送业务，已知每个配送业务需求量和位置或要求在一定的时间范围内完成，求在满足不超过配送车辆载重等的约束条件下，安排配送车辆在合适的时间、最优路线使用成本最小。
2.数学模型
设配送中心有K台车，每台车的载重量为，其一次配送的最大行驶距离为，需要向个客户送货，每个客户的货物需求量为，客户到j的运距为，配送中心到各个客户的距离为，再设为第K台车配送的客户数（=0表示未使用第K台车），用集合表示第k条路径，其中表示客户在路径 k 中的顺序为 （不包括配送中心），令 表示配送中心，若以配送总里程最短为目标函数，则可建立如下数学模型：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

（6）
（7）
（8）
上述模型中，式（1）为目标函数，即要求配送里程最短；式（2）保证每条路径上各个客户的货物需求量之和不超过配送车的载重；式（3）保证每条配送路径的长度不超过配送车的最大行驶距离；式（4）表明每条路径上的客户数不超过总客户数；式（5）表明每个客户都得到配送服务；式（6）表示每条路径的客户组成；式（7）限制每个客户仅能由一台配送车送货；式（8）表示当第 k 辆车服务的客户数大于等于1时，说明该台车参加了配送，则sign(n)的值取1，否则为0。
二、 研究现状
车辆调度问题在目标和范围方面有很大差别，主要是研究的目标和限定条件不同。在研究目标方面有的是最短路线，有的是最短时间，有的是客户的方便程度等等。在限定条件方面，有配送中心方面的区别，和有单配送中心的，有多配送中心；有配送车辆的数量、种类方面的区别，如车辆数有限、无限、单一车型和多种车型；在业务种类方面，有的是集货任务，有的是送货业务，有的是集送一体化业务，有的是各种业务混合情况。有时间窗的车辆调度问题是最为普通的问题，以成为研究热点。
遗传算法在搜索过程中能够自动获取和积累有关搜索空间的知识，并能利用问题固有的知识来缩小搜索空间，自适应地控制搜索过程，动态有效地降低问题的复杂度，从而求得原问题的真正最优解或满意解，因此我来选用遗传算法来求解VSP问题。
三、 解决方法
遗传算法的流程图如下：

基于车辆和客户对应排列编码的遗传算法的基本步骤：
（1） 编码：采用车辆和客户对应排列的编码方法，其基本思路是：用车辆数间的任意自然数（可重复）的排列表示车辆排列，用客户数间的互不重复的自然数排列表示客户排列，两者相对应，构成一个解，并对应一个配送路径方案。例如：对于一个用3台车向9个客户送货的车辆调度优化问题，设某解为（122131223）（456712398），即车辆排列为122131223，客户排列为456712398，两个排列相对应。
（2）适应度函数：直接采用公式（1）作为适应度评估函数。对不可行路径进行权重惩罚。
（3）选择策略：采用最佳个体保存与赌轮相结合的选择策略。其具体操作为：将每代群体中的N个个体按适应度由小到达排列，排在首位的个体性能最好，将它直接复制到下一代。下一代群体的令N-1个体需要根据上一代群体的N个个体的适应度采用赌轮选择。
（4）交叉操作：在该编码方式下有几种编码方式：仅对车辆编码进行交叉、仅对客户编码进行交叉和同时对客户编码和车辆编码进行交叉。本方法中采用仅对车辆编码的方式来交叉。
（5）变异操作：本程序中对于变异操作，采用对客户编码变异的方式。
用MATLAB编程，在内存为2G，CPU 2.10GHz的微机上运行。采用运行参数：种群规模为100，交叉概率为0.9，变异概率为0.2，进化代数100。变异仅对客户编码，对不可行路径的惩罚权重去100km，具体程序代码见附录。
四、 仿真结果
某配送中心有2台车，其载重量均为8t,车辆每次配送的最大行驶距离均为50km，配送中心与8个客户之间及8个客户之间相互距离及货物需求见下表：

表1 客户需求

表2 点对间距表
运行结果如下：

五、 结论
从以上仿真结果可知，用遗传算法通过选择，交叉，变异等操作最终求得配送车辆物流问题中的最短路径，减少了车辆资源和时间的浪费，缩短了运输成本。同时，在车辆调度问题中，进一步加入时间窗等参数的车辆调度问题的遗传算法的求解，还需要进一步的学习研究。
六、 参考文献
[1]施朝春，王旭，葛显龙。带有时间窗的多配送中心车辆调度问题研究[J] 。计算机工程与应用，2009；45（34）：21—24
[2]程世东，刘小明，王兆赓。物流配送车辆调度研究的回顾与展望[J]。交通运输工程与信息学报，2004；2（3）：93—97

七、 附录：程序
clear all;
close all;
D=[ 0 6.5 4 10 5 7.5 11 10 4;
6.5 0 7.5 10 10 7.5 7.5 7.5 6;
4 7.5 0 10 5 9 9 15 7.5;
10 10 10 0 10 7.5 7.5 10 9;
5 10 5 10 0 7 9 7.5 20;
7.5 7.5 9 7.5 7 0 7 10 10;
11 7.5 9 7.5 9 7 0 10 16;
10 7.5 15 10 7.5 10 10 0 8;
4 6 7.5 9 20 10 16 8 0];

n=40;
C=100;
Pc=0.9;
Pm=0.2;
N=8;
family=zeros(n,N);
tic
for i=1:n
family(i,:)=randperm(N);
end
Gt=family(1,:);
Ln=zeros(n,1);
for kg=1:1:C
time(kg)=kg;
%------------------------------计算路径长度-----------------------------
for i=1:1:n
Ln(i,1)=fitness1(D,family(i,:)); %计算每条染色体的适应度值
End
MinLn(kg)=min(Ln);
minLn=MinLn(kg);
rr=find(Ln==minLn);
Gt=family(rr(1,1),:); %更新最短路径
Family=family;
kg;
minLn;
%--------------------------------选择复制-------------------------------
K=30;
aa=0;bb=0;
[aa,bb]=size(Family);
Family2=Family;
Ln2=Ln;
[Ln]=sort(Ln);
for i=1:aa
tt=find(Ln2==Ln(i,1));
Family(i,:)=Family(tt(1,1),:);
end
for i=1:K
j=aa+1-i;
Family(j,:)=Family(i,:);
end
%---------------------------------交叉---------------------------------
[aa,bb]=size(Family);
Family2=Family;
for i=1:2:aa
if Pc>rand&&ii,:)=A;
Family(i+1,:)=B;
end
end
%-------------------------------变异-----------------------------------
Family2=Family;
for i=1:aa
if Pm>=rand %变异条件
Family(i,:)=mutate(Family(i,:));
End
end
Family=[Gt;Family]; %保留上一代最短路径
[aa,bb]=size(Family);
if aa>n
Family=Family(1:n,:);
end
family=Family;
clear Family
end
toc
Gt
RL=fitness1(D,Gt)
plot(time,MinLn);
xlabel('times');ylabel('MinLn');
（1）适应度函数
function len=fitness1(D,p)
N=8;
len=0;
for i=1:(N-1)
len=len+D(p(i),p(i+1));
end
len=D(N,p(1))+len+D(p(N),N);
b=0;
total=[0 0];
volume=8;
demand=[1 2 1 2 1 4 2 2 0];
b=find(p==8);
if b==1
total(1)=0;
for i=2:N
total(2)=demand(p(i))+total(2);
end
elseif b==9
total(2)=0;
for i=1:(N-1)
total(1)=demand(p(i))+total(1);
end
else
for i=1:(b-1)
total(1)=demand(p(i))+total(1);
end
for i=(b+1):N
total(2)=demand(p(i))+total(2);
end
end
if total(2)>volume|total(1)>volume
len=len+100;
end
（2）交叉操作函数
function [a1,b1]=intercross(a1,b1)
L=length(a1);
w=[0 0];
w(1)=unidrnd(L-2);
w(2)=L-w(1);
if w(2)