1、
非齐次线性微分方程通解的证明
问题重述
如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程
（5.21）
的基本解组，那么，非齐次线性微分方程
(5.28)
的满足初值条件
的解由下面公式给出
（5.29）
这里是的朗斯基行列
2、式，是在中的第k行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式
，（5.30）
这里是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为
证明
考虑n阶线性微分方程的初值问题
（5.6）
其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：
（5.7）
其中
事实上，令
这时
3、
而且
现在假设是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知在上存在、连续、满足方程（5.6）且令
其中那么，显然有，此外，我们还得到
在此处键入公式。
这就表示这个特定的向量是（5.7）的解，反之，假设向量u（t）是在包含的区间上（5.7）的解，令
并定义
4、函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n个方程得到
由此即得
同时，我们也得到
这就是说，是（5.6）的一个解
总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是，每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。
本段讨论非齐次线性微分方程组
（5.14）
的解的结
5、构问题，这里是区间上已知nxn连续矩阵，是区间上的已知的n维连续列向量，向量通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，就代表外力。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质
性质1 如果是（5.14）的解，是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则是（5.14）的解
性质2 如果和是（5.14）的两个解，则是（5.15）的解
下面的定理7给出（5.14）的解的结构
定理7 设是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解都可表为
（5.23）
这里c是确定的常数列
6、向量
证明 由性质2我们知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到
这里c是确定的常数列向量，由此即得
定理证毕
定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵的情况下，有一个寻求（5.14）的解的简单方法，这个方法就是常数变易法。
从上一节我们知道，如果c是常数列向量，则是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c变易为t的
7、向量函数，而试图寻求（5.14）的形如
（5.24）
的解，这里是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到
因为是（5.15）的基解矩阵，所以，由此上式中含有的项消去了，因而必须满足关系式
（5.25）
因为在区间上是非奇异的，所以存在，用左乘（5.25）两边，然后积分之，得到
其中=0，这样，（5.24）变为
（5.26）
因此，如果（5.14）有一个形如（
8、5.24）的解，则由公式（5.26）决定。
反之，用公式（5.26）决定的向量函数必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到
再利用公式（5.26），即得
显然，还有=0，这样一来，我们就得到了下面的定理8
定理8 如果是（5.15）的基解矩阵，则向量函数
是（5.14）的解，且满足初值条件
由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件的解由下面公式给出
(5.27)
这里是（5.15）的满足初值条件的解，公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。
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