对数与对数函数-知识点与题型归纳.doc

●高考明方向
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3.知道对数函数是一类重要的函数模型．
4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．

★备考知考情
　　通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.

一、知识梳理《名师一号》P27
注意：
知识点一 对数及对数的运算性质
1.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．
注意：(补充)关注定义---指对互化的依据

2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM.

(2)对数的性质
①alogaN＝N；②logaaN＝N (a>0，且a≠1)．

(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
注意：(补充)特殊结论:

知识点二 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）

a>1
0

二、例题分析：
（一）对数式的运算
例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1
(2013·陕西文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac

解析　由对数的运算性质：loga(bc)＝logab＋logac，
可判断选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，logab·logcb＝logca⇒·＝⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立，故错误；对选项B由对数的换底公式知，logab·logca＝·＝＝logcb，故恒成立．
答案　B

例1.(2) (补充) 计算下列各式的值
(1)
(2) 温故知新P22 第8题

(3)

答案：(1) 1 (2)10 (3)-12
注意： 准确熟练记忆对数运算性质 多练

《名师一号》P28 高频考点 例1
【规律方法】　在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．

例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2
(2014·陕西卷)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.

解析　∵4a＝2，∴a＝log42＝.由lgx＝，
得x＝10＝.

例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)
若x＝log43，则(2x－2－x)2等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.

解析:由x＝log43，得4x＝3，
即2x＝，2－x＝，
所以(2x－2－x)2＝2＝.
注意：指数与对数的互化
ab＝N⇔b＝ (a>0，a≠1，N>0)．

练习:(补充)已知求

答案:

例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)
已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值
是(　　)
A．5　　　B．3　　　C．－1　　　D.

因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.
因为log3<0，所以f＝3＋1
＝3＋1＝2＋1＝3.
所以f(f(1))＋f＝2＋3＝5.

二、对数函数的图象及性质的应用
例1. (补充)
求下列函数的定义域．
(1)y＝.
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)．

解析：(1)由函数定义知：
∴ 即的定义域是{x|0恒成立，∴Δ＝a2＋4a<0
∴－4[2log2(2x)]＝log2x(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－，当x＝时，函数取得最小值－.

注意：
换元后“新元”的取值范围．

练习：
1、求下列函数的值域
（1）y＝log(－x2＋2x＋4)
[答案]　[－1，＋∞)
（2）f(x)＝logx－3log2x2＋2
[解析]　令t＝log2x，∵≤x≤2∴－1≤t≤1.
∴函数化为y＝t2－6t＋2＝(t－3)2－7
∵－1≤t≤1.
∴当t＝－1，即x＝时，ymax＝9.
当t＝1，即x＝2时，ymin＝－3，
∴函数的值域为[－3,9].

2、已知集合
求实数a的取值范围．

[分析]当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2(x2－ax－a)的值域才为R.
而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)
[正解]　要使函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，应使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)

例3. 1）《名师一号》P27 对点自测4
已知a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x＋2 015)＋2的图象恒过定点________．

解析　令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．

练习:
无论a取何正数(a≠1)，函数恒过定点
【答案】
注意：
对数函数图象都经过定点(1, 0)

例3. （2） (补充)
如右下图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，
③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a、b、c、d
与1的大小关系是 (　　)
A．a>b>1>c>d
B．b>a>1>d>c
C．1>a>b>c>d
D．a>b>1>d>c

【答案】B
在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c0，
且a≠1)的图象如图所示，
则下列函数图象正确的是(　　)

答案： B.

例4.《名师一号》P28 高频考点 例3
已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？
若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解析:(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1.
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－11,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，
单调递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有
解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.

练习：温故知新P32 第5题

三、比较大小
例1.《名师一号》P29 特色专题 典例
，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b

【规范解答】　
方法1：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．

由图象知：log23.4>log3>log43.6.

方法2：∵log3>log33＝1，且<3.4，
∴log31，
∴log43.6log3>log43.6.
由于y＝5x为增函数，

故a>c>b.
注意：《名师一号》P28 问题探究 问题3
比较幂、对数大小有两种常用方法：
①数形结合；②找中间量结合函数单调性．

练习:
1、若0logy3，∴B错．
③由y＝log4u为增函数知log4xy，排除D.
答案：C

2、对于01＋a)>loga(1＋)；
③a1＋aa.
其中成立的是(　　)
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④

答案：D
解析：由于0loga(1＋)，a1＋a>a.
∴选D.

四、对数方程与不等式
例1.(1)(补充)
方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是___．

[答案]　x＝5
[解析]　原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.
注意：
依据对数函数恒单调求解。

例1.(2) 温故知新P32 第9题
已知函数，且关于的方程
有且只有一个实根，则实数的取值
范围是

练习：温故知新P31 第5、6题
温故知新P29 第10题

例2.（1） (补充)已知0式求解．
解析：∵01　∴a2x－2ax－3>0
∴ax>3或ax<－1(舍)　∴x般都是用单调性或换元法求解．

例2.（3）《名师一号》P28 高频考点 例2(2)
当01时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
答案： B.

练习:当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________。

x
y
0
1
2
y1=(x-1)2
y2=logax
P (2,1)
分析：
若将不等号两边分别设成两个函数，
则左边为二次函数，图象是抛物线，
右边为常见的对数函数的图象，
故可以通过观察图象求解。
解：设，，
则的图象为右图
所示的抛物线，要使对一切
，恒成立，,
观察图象得：
只需即可。故，
取值范围是。
变式: 《名师一号》P28 变式思考2(2)
不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为(　　)
A．[， ] B．[， )C．(1，] D．(1, ]

解析:不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解为{2,3,4}，
则应满足得≤a<.

答案:B

五、反函数的概念
例1. (补充)已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，记f(x)的反函数为f－1(x)，那么f－1()＝(　　)
A. B．4 C. D．－2

分析：
利用函数f(x)及其反函数f－1(x)的关系求解．
解析：设f－1()＝a，则f(a)＝，
∴2a＋1＝，∴a＝－2.

注意：
如果点(a，b)在反函数y＝f－1(x)的图象上，
则点(b，a)在原来函数的图象上；
互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称
例2. (补充)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为(　　)

解析：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.

练习：如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点，那么称这个点为“世博点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“世博点”的个数为(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

[答案]　B
[解析]　∵指数函数与同底的对数函数的图象关于直线y＝x对称，故若它们有交点，则交点一定在直线y＝x上，而M(1,1)不适合题意，故只有点Q满足题意．
计时双基练P226 培优第1题

六、指数、对数函数的综合问题
第11周周练第13题
设,则当与两个函数图像有且只有一个公共点时,

答案:-1

第11周周练第10题

课后作业
一、 计时双基练P225基础1-9
课本P28 变式思考1、2、3；

二、 计时双基练P226基础10、11；培优1-4
课本P29对应训练1、2
预习 第二章 第五节 幂函数与二次函数

补充
练习1已知函数的值域
为，则的范围是（ ）
A. B.
C. D.

答案:D

练习2:
已知方程9x－2·3x＋3k－1＝0有两个实数解，试求实数k的取值范围．

[解析]　令t＝3x，则t>0.原方程有两个实数解，即方程t2－2t＋3k－1＝0有两个正实数解，则
，
解得1)

(2)
=
,，,
，
①若，即时，==，
②若，即时，
所以当即时，=

练习：
1、不等式x2－logax<0在x∈(0，)时恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．01 D．0