陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题-理.doc

陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 理

陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 理

年级：
姓名：

15

陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 理
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A． B．
C D．
2．复数的虚部为
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．若，，则
A． B． C． D．
5．记为等差数列的前n项和，已知，则数列的公差为
A．4 B．2 C．1 D．
6．函数在上的图象大致为
A． B． C． D．
7．设向量，，，，则y的最小值为
A． B．0 C． D．1
8．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011~2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是

A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加
B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年
C．2018年上半年的票房收入增速最大
D．2020年上半年的票房收入增速最小
9．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为
A． B． C． D．

10．已知等比数列的前n项和为，若，，则
A．9 B．10 C．12 D．17
11．设直四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，底面ABCD为平行四边形，，侧面的面积为6，则球O表面积的最小值为
A． B． C． D．
12．已知奇函数的定义域为R，且对任意，恒成立，则不等式组的解集是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
14．的展开式中的常数项为________．
15．已知椭圆C的离心率为，短半轴长为，则椭圆C的焦距为________．
16．关于函数有如下四个命题：
①在上的值域为；
②的图象不可能经过坐标原点；
③若的最小正周期为2，则；
④若，则的最小值为．
其中所有真命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，．
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积（结果用小数表示，取）．
18．（12分）
我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风投公司准备投资芯片领域．若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为的概率为p，收益率为的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为的概率为，收益率为的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．
（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你为该风投公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若该风投公司准备对以上你认为比较合理的的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：
年份x
2016
2017
2018
2019

1
2
3
4
累计投资金额y（单位：亿元）
2
3
5
6
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．
附：收益收入的资金获利期望；线性回归方程中，，．
19．（12分）
如图，已知三棱柱是底面边长为2，高为4的正三棱柱，点E在棱上，且．
（1）当为何值时，平面平面？说明你的理由．

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．
21．（12分）
抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线交抛物线C于M，N两点，O为原点，的面积为2．
（1）求抛物线C的方程．
（2）P为直线l：上一个动点，过点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点H的坐标．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线l与曲线C交于不同的两点M，N．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值是m，且，求的最小值．
商洛市2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学试卷参考答案（理科）
1．C 因为，，
所以．
2．B ，则z的虚部为．
3．A 因为，所以，
故双曲线的渐近线方程为．
4．D 因为，
，
所以，
则．
5．A 设d为数列的公差，因为，
所以，则．
6．B 因为，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C与D．
因为，所以排除A，故选B．
7．C 因为，所以，
则．
8．D 由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；
2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；
2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．
9．D 正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解．
由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，
则其体积为，其表面积为
所以此正八面体的体积与表面积之比为．
10．B 设等比数列的公比为q，
因为，所以，
则．
11．A 因为底面ABCD为平行四边形，且球O是直四棱柱的外接球，
所以底面ABCD必为矩形，从而四棱为长方体．
设，，则，，
所以球O的表面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
故球O表面积的最小值为．
12．C 设，则，
则在R上单调递增．
因为是定义域为R的奇函数，所以，则．
不等式组
等价于即，
则，解得．
13．15 作出可行域（图略），由图可知，当直线经过点时，z取得最大值，且最大值为15．
14．
展开式的通项为，令，得，
所以展开式中的常数项为．
15．4 设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则解得，
所以椭圆C的焦距为4．
16．①②③④
若，则，，所以①为真命题．
因为 所以的图象不可能经过坐标原点，所以②为真命题．
若的最小正周期为2，则，
则，所以③是真命题．
若，则的图象关于直线对称，
则，所以，
因为，所以的最小值为，所以④为真命题．
17．解：（1）因为，
所以．
（2）因为，所以．
由余弦定理得，则．
因为的周长为，
所以，解得．
所以的面积为．
因为，所以的面积为3.8．
18．解：（1）若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为

0.3

P
p

所以．
若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为

0.3

0
P
0.4
0．1
0.5
所以．
因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，
所以，所以．
因为，
，
所以，，
这说明虽然光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．
综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．
（2），，
，，
则，，
故线性回归方程为．
设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，
解得，故在2020年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元．
19．解：（1）当时，平面平面．
证明如下：
如图，当时，点E为棱的中点，
记与相交于点D，记线段AC的中点为O，
易证DO与EB平行且相等，
则四边形EDOB为平行四边形，则．
因为为正三角形，则，
易知，，
则平面，
则平面，因为平面，
所以平面平面．
（2）以O为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
则，，．
设平面AEC的法向量为，
则即
令，得．
设平面的法向量为，
则即
令，得．
，
由图可知二面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
20．解：（1）函数的定义域为，且．
若，则当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
若，，函数在上单调递减．
（2）不等式在上恒成立，即恒成立，
设，，
令，则．
①当时，恒成立，
所以单调递增，所以，
即符合题意；
②当时，恒成立，所以单调递增，
又因为，，
所以存在，使得，且当时，
，即在上单调递减，
所以，即不符合题意．
综上，a的取值范围为．
21．解：（1）由题意得，点M，N的纵坐标均为，由，
解得，则．
由，
解得，故抛物线C的方程为．
（2）设，，，
直线AP的方程为．
将抛物线方程变形为，则，所以，
所以AP的方程为．
因为，所以直线AP的方程为，
把代入AP的方程得．
同理可得．
构造直线方程为易知A，B两点均在该直线上，
所以直线AB的方程为，
故AB恒过点．
因为，所以可设PH方程为，
化简得，
所以PH恒过点．
当，即时，AB与PH均恒过，
故存在这样的，当时，H的坐标为．
22．解：（1）由题意可得直线l的普通方程为．
曲线C的直角坐标方程为，
即．
（2）直线l的参数方程可化为（为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
整理得，则，，
故．
23．解：（1）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，不等式的解集为．
（2）由（1）可知当时，，
即，则．
因为
所以，
即（当且仅当时等号成立）．
故的最小值为．