黑龙江省绥化一中2020-2021学年高一数学下学期第一阶段考试试题.doc

黑龙江省绥化一中2020-2021学年高一数学下学期第一阶段考试试题

黑龙江省绥化一中2020-2021学年高一数学下学期第一阶段考试试题

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- 23 -

黑龙江省绥化一中2020-2021学年高一数学下学期第一阶段考试试题
一．填空题（每题5分）
1、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2、 是 的共轭复数，则 的虚部为( )
A． B． C． D．

3、已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、已知函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5、设，，，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
6、P为所在平面内一点，当成立时，点P位于（ ）
A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上 C．△ABC的内部 D．△ABC的外部
7、将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
8、点、、为直线上互异的三点，点，若（），则的最小值（ ） A．16 B．17 C．18 D．19
9、已知，，则（ ）
A． B．-7 C． D．
10、在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
11、已知是定义在上的偶函数，且满足，若当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
12、已知平面向量满足，、为不共线的单位向量.且恒成立，则、夹角的最小值为（ ）A． B． C． D．
二．填空题（每题5分）
13、设，复数，若为纯虚数，则_____.
14、若如图，在中，，点E为的中点.设，，则______（用，表示）.

15、将函数的图象向左移动个单位长度，得到图象关于轴对称，则的最小正值是__________.
16、定义在上的偶函数，当时，,若关于的方程恰好有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．
三．解答题（17题10分，18题---22题12分）
17、已知平面向量，，.
（1）若，求的值；（2）若，求.
18、设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的最大值．

19、已知，，.
（1）求函数的最大值，及此时的取值；
（2）在三角形中角的对边分别为，若，，，求三角形的面积.
20、已知函数的定义域为，且满足以下两个条件：①是奇函数；②
（1）求常数a，b的值；
（2）求证：函数在上是增函数；
（3）若，求t的取值范围.
21、如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与相距20 海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东（其中）且与观测站A相距海里的C处．
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．

22、已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，

若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。

2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高一年级数学学科试题
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上

评卷人
得分

一、单项选择（注释）

1、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式集合，再由交集定义运算．
详解：因为，，
所以
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键．
2、【答案】C

是 的共轭复数，则 的虚部为( )
A． B． C． D．
3、已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：先求出命题p对应的a的取值范围，利用集合的包含关系即可判断.
详解：由函数在上是增函数，
因为的对称轴为，开口向上，所有，即，
Ü，
是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
4、已知函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性之间的关系判断即得.
详解：由，得或，
的定义域为.
令，则函数在上单调递减，在上单调递增.
又函数在上是减函数，由复合函数单调性之间的关系可得，
函数的单调递减区间是.
故选：.

5、
设，，，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
且，即，
又，因此，.
故选：B.
6、为所在平面内一点，当成立时，点P位于（ ）
A．△ABC的AB边上
B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部
D．△ABC的外部
【答案】D
【解析】分析：利用向量加法的平行四边形法则，判断选项.
详解：，如图，根据平行四边形法则，可知点P在的外部．

故选：D
7、
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
由可得，
即函数的单调递增区间是.
故选：D.
8、点、、为直线上互异的三点，点，若（），则的最小值（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【解析】分析：根据题中条，由三点共线，先得到，再利用基本不等式，即可求出结果.
详解：因为点、、为直线上互异的三点，
所以存在实数，使得，
又点，所以，则，
因此，
又，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，涉及三点共线的向量表示，属于常考题型.
9、已知，，则（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的基本关系式，求得， ，再结合两角和的正切公式，利用，即可求解.
详解：因为，可得，
所以，则，
由.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角差的正切函数的化简求值，其中解答中熟练三角恒等变换的公式，以及角的合理配凑是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10、在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】详解：
∵D是BC的中点，
∴，即，
∴=（）=+=﹣6，
又=（）？（）=（）=（b2﹣16），
∴﹣6=（b2﹣16），解得b=2，
∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，
∴a=4b﹣c=4，
由余弦定理得cosA==．
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用这个性质很多问题都可以迎刃而解.
11、
已知是定义在上的偶函数，且满足，若当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：函数在区间上零点的个数函数
的图象与的图象交点个数,根据奇偶性与周期性画出图象，利用数形结合思想求解即可.
详解：函数在区间上零点的个数函数
的图象与的图象交点个数，
因为，
所以，
可得是周期为的函数，
且是偶函数，
由时，，
作出与图象如图，

可知每个周期内有个交点，所以函数，
在区间上零点的个数为，故选D.
点睛：判断方程 零点个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题
12、已知平面向量满足，、为不共线的单位向量.且恒成立，则、夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求得，由恒成立得出，化简得知对任意的恒成立，由可求得、夹角的取值范围，由此可得出结果.
详解：，
由得，
，
由题意可得，对任意的恒成立，
，解得，
，.
因此，、夹角的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量夹角最值的求解，考查二次不等式恒成立问题的求解，考查计算能力，属于中等题.
1.

评卷人
得分

二、填空题（注释）

13、设，复数，若为纯虚数，则_____.
【答案】
【解析】直接由纯虚数的定义，得出实部为0且虚部不为0，从而求得实数的值．
详解：解：复数为纯虚数，
，解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查复数的基本概念，考查由复数为纯虚数求参数值，属于基础题．
14、如图，在中，，点E为的中点.设，，则______（用，表示）.

【答案】.
【解析】利用向量加法的平行四边形法则得到，然后利用向量减法，可得结果.
详解：因为点E为的中点，
所以，又
且
所以
化简可得：
即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查向量的线性表示，熟练使用向量的加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量的减法，属基础题.

15、
若将函数的图象向左移动个单位长度，得到图象关于轴对称，则的最小正值是__________.
【答案】
【解析】
函数，向左平移个单位，可得
要使所得图象关于轴对称，即函数在时取到最值
所以
，即，
当时，可得的最小正值为．
故答案为：．
16、
定义在上的偶函数，当时，,若关于的方程恰好有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：绘制函数图象，令，将关于的方程，转化为关于的方程，根据函数的图象规律，确定关于的方程两个根的范围，进而确定实数的取值范围.
详解：函数为定义在上的偶函数，且时，
绘制函数图象如下：

当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值；
要使关于的方程恰好有6个不相等的实数根，
令，转化为
如图所示，当或时，方程没有实数根，
当时，方程有1个实数根，
当时，方程有4个实数根，
当时，方程有2个实数根，
则方程必有两个根、，且，，
又由韦达定理得，，
， 即.
故答案为.
点睛：本题考查分段函数的应用，利用换元法结合函数的图象与性质，转化为一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键.

评卷人
得分

三、解答题（注释）

17、已知平面向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）的值为或；（2）或.
试题分析：（1）根据向量垂直，数量积为0，得到一个关于的方程，解此方程，即可得解；
（2）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标公式，可求出的值，进而得到，利用向量模的坐标运算即可得解.
详解：（1），则，
即，
解得或.
所以，的值为或.
（2）若，则，
即，
解得或，
当时，，，
，，
当时，，，
，.
故或.
【点睛】
本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，，则；（2）利用性质进行求解，，结合向量数量积进行求解.
【解析】
18、设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的最大值．
详解：解：（1）．，，
，
，
，
，
在中，．
，．
（2），，

．
又，，，
，故周长的最大值3，
另解：得，
化简得，又的周长．
故周长的最大值3.
【点睛】
此题正余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，属于中档题

19、已知，，.
（1）求函数的最大值，及此时的取值；
（2）在三角形中角的对边分别为，若，，，求三角形的面积.
【答案】(1)函数的最大值为2，此时.(2).
试题分析：（1）化简可得：，利用正弦函数的性质列方程可得：时，取得最大值为，问题得解．
（2）由可得：，由余弦定理可求得：，再利用三角形面积公式计算得解．
详解：（1）由题可得：，
化简得：，
当，即时，此时取得最大值为.
（2）由得：，.
，

【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦公式、二倍角公式及数量积的坐标运算，还考查了三角函数的性质及余弦定理，考查了方程思想、计算能力及三角形面积公式，属于中档题．
【解析】
20、已知函数的定义域为，且满足以下两个条件：①是奇函数；②
（1）求常数a，b的值；
（2）求证：函数在上是增函数；
（3）若，求t的取值范围.
【答案】（1），（2）证明见解析（3）
试题分析：（1）由题意可得，，，代入即可求解，；（2）由（1）可求，然后结合单调性的定义即可判断；（3）由，结合（2）的单调性即可求解．
详解：（1）由题意可得，，，
故，，
（2）由（1）可得，
设，
则，
因为，
所以，，，
故，即，
故函数在，上单调递增；
（3）由，
故原不等式可转化为，且，
解可得．
故原不等式的解集，．
【点睛】
本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义的应用及利用单调性求解不等式，属于函数性质的简单应用．
21、如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与相距20 海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东（其中）且与观测站A相距海里的C处．
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．

22、已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
详解：解（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象
∵的图象过．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式为：，设，
∵即可
只需要解得
综上所述