湖北省鄂州市2020-2021学年高二数学上学期期末质量监测试题.doc

湖北省鄂州市2020-2021学年高二数学上学期期末质量监测试题

湖北省鄂州市2020-2021学年高二数学上学期期末质量监测试题

年级：
姓名：

11

湖北省鄂州市2020-2021学年高二数学上学期期末质量监测试题
注意事项：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
3．选择题在每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；主观题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。答在试题卷上无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．语句“若a＞b，则a＋c＞b＋c”是（ ）
A．不是陈述句 B．真命题 C．假命题 D．不能判断真假
2．命题“x＞1，x2－x＞0”的否定是（ ）
A．，x2－x＞0 B．，x2－x≤0
C．，x2－x≤0 D．，x2－x＞0
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．1365石 B．338石 C．169石 D．134石
4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
5．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．方程x2＋y2＝1(xy＞0)表示的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)．若，且，则点P的坐标为（ ）
A．(4，－2，2) B．(－2，2，4)
C．(4，－2，2)或(－2，2，4) D．(－4，2，－2)或(2，－2，4)
8．已知椭圆：，过点M(1，1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－2＝0 D．2x－y＋1＝0
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．0＜a＜1 B．0≤a≤1 C． D．a≥0
10．已知抛物线x2＝8y上的点P到其准线的距离为4，直线l交抛物线于A，B两点，且AB的中点为Q(4，3)，则P到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的值可能是（ ）
A．－3 B． C．－2 D．－1
12．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．曲线y＝－1经过C的一个焦点
D．直线与C有两个公共点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图(如图)从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是______米．
14．已知随机变量ξ~N(1，2)，则D(2ξ＋3)＝______．
15．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率为KPM，KPN，若
，则椭圆的方程为________．
16．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)，若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为           ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)已知命题p：，命题q：x2－ax＋5＞0．
⑴若为真，求x的取值范围；
⑵若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18． (本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
(i)利用该正态分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX．
附：．
若Z~N(μ，σ2)则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544．

19． (本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)
(Ⅰ)当λ＝1时，证明：直线BC1//平面EFPQ；
(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ
的值；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分12分)“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)，如表所示：
试销单价元
4
5
6
7
8
9
产品销量件
q
84
83
80
75
68
已知，，，
⑴试求q，若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；
⑵用表示用⑴中所求的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值．当销售数据(xi，yi)对应的残差的绝对值时，则将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求恰好2个都是“好数据”的概率．
（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）

21．（本小题满分12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y2＝4x的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于A，B两个不同点．
⑴求椭圆C的方程；
⑵若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．

22．（本小题满分12分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆上的动点，求
△PAB面积的取值范围．
高二数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. B 2. C 3. C 4. A 5. D 6. B 7. C 8. A
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9. BD 10. AC 11. CD 12. AC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 50 14. 8 15. 16.   

四、解答题（本大题共6小题，共70分）（详细分值见答题卡）
17. 解：：，化为：，即，解得：，......3分
由为真，可得：或，
的取值范围是．...........5分
是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
故q：对于任意恒成立，..........8分
故，，当且仅当时取等号．
故．  ...............10分
18. 解：Ⅰ抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，........3分
．........6分
Ⅱ由Ⅰ知从而；.........9分
由知一件产品的质量指标值位于区间的概率为，
依题意知，所以．  .............12分
19. Ⅰ证明：以D为原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则2，，2，，1，，0，，0，，
0，，0，，1，
时，0，，0，，..........3分
，
，
平面EFPQ，平面EFPQ，
直线平面EFPQ；............6分
Ⅱ设平面EFPQ的一个法向量为y，，则，
取．.........8分
同理可得平面MNPQ的一个法向量为，
若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则
，．...10分
存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．........12分
20. 解：由，即，可解得．.....2分
 ，
，..........4分
所以所求的线性回归方程为．........5分
利用中所求的线性回归方程，
可得，当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，．
与销售数据对比可知满足2，，的共有3个“好数据”：、、
...............8分
于是6个中选两个共有15个不同的选法，恰好2个都是“好数据”的情况共3种，.....10分
于是从6个销售数据中任取2个，恰好2个都是“好数据”的概率为. .......12分
21. 解：抛物线的准线方程为，由题意知．
设椭圆C的方程为．
则由题意可得解得
故椭圆C的方程为．..........5分
直线的斜率为，且不过点，
可设直线．
联立方程组，消去y得．
又设，，
故有 ..........8分
所以

， ............11分
所以为定值0．  .........12分
22. 解：Ⅰ证明：可设，，，
AB中点为M的坐标为，
抛物线C：上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得，
，.........3分
化简可得，为关于y的方程的两根，
可得，，
可得，所以点M与P的纵坐标相同，
则PM垂直于y轴； ...........6分
Ⅱ若P是半椭圆上的动点，
可得，，，
由Ⅰ可得，，
由PM垂直于y轴，可得面积为

， ............8分
可令
，
可得时，t取得最大值；
时，t取得最小值2，
即，........10分
则在递增，可得，
所以面积的取值范围为   ................12分