上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

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上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1.已知角的终边经过点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出点到坐标原点的距离，根据三角函数的定义，求出，即可求解.
【详解】设坐标原点为，
.
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数定义的应用，属于基础题.
2.函数的定义域为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数解析式的限制条件，列出不等式，即可求解.
【详解】函数有意义需，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的定义域，注意对数函数性质的应用，属于基础题.
3.用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解.
【详解】与终边相同的角的集合是。
故答案为：
【点睛】本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题.
4.函数，的反函数为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的值域，然后由函数解析式将用表示，即可得出结论.
【详解】函数，，，
，
所以反函数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查反函数的求法，要注意反函数的定义域不要遗漏，属于基础题.
5.已知，试用表示______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知，应用换底公式将所求的式子化为以为底的对数，再结合对数运算性质，即可求解.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查对数的运算，掌握换底公式及对数运算性质是解题关键，属于基础题
6. ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角差的正切公式，可直接求出结果.
【详解】.
故答案
【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.
7.方程的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】
对变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可．
【详解】，

即：，令，
则方程可化为，解得：或，
或
或
方程的解集是：
【点睛】本题考查了对数运算性质及转化思想，利用换元方法求解．
8.把化为的形式_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据辅助角公式，即可求解.
【详解】
故答案为：.
【点睛】本题考查两角和差正弦公式的应用，熟记公式即可，属于基础题.
9.已知，，则实数的值的集合为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，建立的方程，求解即可.
【详解】，
整理得，解得或
所以的集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系应用，考查计算求解能力，属于基础题.
10.已知，化简：__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围，即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
【点睛】本题考查应用二倍角公式化简，熟练掌握三角函数公式及变形是解题关键，属于中档题.
11.已知的一个内角为，并且三边长满足关系：，则的面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形边角关系，可得所对的边为，由余弦定理建立的方程，求出，进而得到即可.
【详解】，
所对的边为，
，
整理得，解得或，舍去），
.
故答案为：.
【点睛】本题考查求三角形面积、余项定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
12.在中，已知，给出下列结论：
①由已知条件这一三角形被唯一确定；
②一定是一个钝角三角形；
③；
④若，则的面积是．
其中正确结论的序号是__________
【答案】②③
【解析】
【分析】
由题可得,无法得到确定唯一的三角形；由“大边对大角”,利用余弦定理求得,即可判断三角形是否为钝角三角形；利用正弦定理的边角关系判断③；由求得,进而求出三角形面积即可
【详解】由,可得,即只知道三边的比例关系,无法确定唯一的三角形,故①错误；
则,即,即是钝角三角形,故②正确；
由正弦定理可得,,故③正确；
因为,则,,所以,故④错误；
故答案为：②③
【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形的形状的判定,考查三角形面积公式的应用
二.选择题(本大题满分12分)本大题共有4题，每题都给出代号为A.B.C.D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13.若，则点必在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由范围，判断的正负，即可得出结论.
【详解】，
点在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数值的符号，属于基础题.
14.化简所得的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简后，利用两角和的余弦函数化简求解即可.
【详解】诱导公式：，；
，；
余弦的两角和公式：，

故选：C.
【点睛】本小题主要考查运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数，属于基础题.
15.△中，若，则该三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形但不是直角三角形 B. 直角三角形但不是等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定三角形的形状.
【详解】由，得，
，或，即，或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦定理、二倍角公式判断三角形的形状，属于基础题.
16.若函数是定义在上的减函数，又是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A. B
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意只需判断各选项中自变量的大小，由已知可得，根据正弦函数的单调性，得出的大小关系，即可求解.
【详解】是锐角三角形的两个内角，，
在为增函数，
，
又函数是定义在上的减函数，
.
故选：D.
【点睛】本题考查抽象函数的函数值大小关系，利用函数的单调性，以及判断锐角三角形中角的三角函数大小是解题的关键，属于中档题.
三.解答题(本大题满分52分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.已知弓形的弦长为，对应的圆心角为，求此弓形的面积.

【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理，求出扇形半径，进而求出扇形面积和面积，即可求解.
【详解】设扇形的半径为，在中，由余弦定理得，
，
，
，
弓形的面积为.
【点睛】本题考查扇形的面积、余弦定理解三角形，熟记公式是解题的关键，属于基础题.
18.已知，求值：
（1）；
（2）2.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知可求出，将所求的式子化弦为切，即可求解；
（2）引进分式，利用“1”的变化，将所求式子化为的齐次分式，化弦为切，即可求解.
【详解】.
（1）；
（2）2
.
【点睛】本题考查利用诱导公式、同角间的三角函数关系求值，构造的齐次分式，化弦为切是解题的关键，属于基础题.
19.如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，求山高.

【答案】
【解析】
分析】
先在直角三角形中求出，然后用正弦定理求出，最后再在直角三角形中求得．
【详解】解：在中，，
.
在中，，
.
由正弦定理得即，
.
在中，，
故山高是.
【点睛】本题考查解三角形的应用：测量高度，考查正弦定理．
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
20.已知，且，若，分别求与的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由，求出，进而求出，利用，结合两角差的余弦，即可求出.
【详解】，
由解得或（舍去），
，，
又，
，

，

【点睛】本题考查三角函数求值问题，灵活运用三角恒等变换和同角间的三角函数关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.
21.在中，角的对边分别为，的外接圆半径，且满足.
（1）求角和边的大小；
（2）求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将已知等式化简，结合两角和的正弦公式，求出，进而求出角，再由正弦定理，求出；
（2）要使面积最大，只需求出最大，由余弦定理结合基本不等式，即可求出结论.
【详解】（1）由，
得，
，
，
的外接圆半径，由正弦定理可得，
；
（2）根据余弦定理得，
当且仅当时，等号成立，
，
所以的面积的最大值为.
【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，利用基本不等式求三角形面积最值，考查计算求解能力，属于中档题.