四川省泸州市2021届高三数学下学期第二次教学质量诊断性考试试题-理.doc

四川省泸州市2021届高三数学下学期第二次教学质量诊断性考试试题 理

四川省泸州市2021届高三数学下学期第二次教学质量诊断性考试试题 理

年级：
姓名：

13

四川省泸州市2021届高三数学下学期第二次教学质量诊断性考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡-并上交．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多
C．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%
4．若，满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．离散型随机变量服从二项分布，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．把函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若在上是增函数则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，点满足，则的值为（ ）
A． B．6 C． D．8
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．1
9．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．双曲线：的左焦点和虚轴的一个端点分别为，，点为右支上一动点，若周长的最小值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共10个小题，共90分．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．
13．已知，则______．
14．已知函数，若，则实数的取值范围是______．
15．过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于，两点，为坐标原点，若，则的面积为______．
16．关于函数有如下四个命题：
①函数的图象是轴对称图形；
②当时，函数有两个零点；
③函数的图象关于点中心对称；
④过点且与曲线相切的直线可能有三条．
其中所有真命题的序号是______．（填上所有真命题的序号）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
为了解某水果批发店的日销售量，对过去100天的日销售量进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图．

（Ⅰ）求这100天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；
（Ⅱ）从这100天中随机抽取了5天，统计出这5天的日销售量（吨）和当天的最高气温（℃）的5组数据，研究发现日销售量和当天的最高气温具有线性相关关系，且，，，．求日销售量（吨）关于当天最高气温（℃）的线性回归方程，并估计该水果批发店所在地区这100天中最高气温在10℃～18℃内的天数．
参考公式：，．
18．（本小题满分12分）
已知数列是等比数列，，且是和的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为．求使成立的最小整数．
19．（本小题满分12分）
如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：直线，，交于一点；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，短轴长为．
Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设不过点的直线与相交于，两点，直线，分别与轴交于，
两点，若，证明直线的斜率是定值，并求出该定值．
21．（本小题满分12分）
设函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）确定的所有可能值，使得存在，对任意恒有成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，动直线：（，且）与动直线：（，且）交点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程：
（Ⅱ）若曲线的极坐标方程为，求曲线与曲线的交点的极坐标．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，，为正实数，函数的最小值为，且，求的最小值．

泸州市高2018级第=次教学质量诊断性考试
数学（理科）参考答案及评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分，
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
C
D
A
A
D
B
D
C
二、填空题：
13．63； 14．； 15．； 16．①③④．
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图性质知，各组频率之和为1，
所以，
解得，
设中位数为，则，
解得，即这100天中日销售量的中位数约为2.06吨；
（Ⅱ）因为，，
，
所以，
，
所以销售量（吨）关于当天最高气温（℃）的线性回归方程是：
；
当时，，
当时，，
当最高气温在10℃～18℃内时，日销售量在2～4吨内，根据频率分布直方图可得在此范围的频率为：
，
所以估计该景区这100天中最高气温在10℃～18℃内的天数约为：
天．
18．解：（Ⅰ）设数列公比为，因为，所以，
因为是和的等差中项，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以；
（Ⅱ）因为，所以，

，
由，得：，
所以，即，
所以使成立的最小整数为．
19．证明：（Ⅰ）连接，，因为，分别为，的中点，

所以，且，
因为是直四棱柱，且底面是正方形，
所以，且，
即四边形是平行四边形，
所以，且，
所以，且，即四边形为梯形，
所以与交于一点，记为，
因为平面，平面，
所以（平面平面），
又因为平面平面，
所以直线，
（Ⅱ）法一：由题意可知，
所以，所以，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，所以，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则：
，故，
设平面的法向量为，
则，故，
所以，
即二面角的余弦值为．
法二：过作于点，过作交于，连接，

因为是直四棱柱，且底面是正方形，
所以平面，
所以，又面，
所以，又因为平面，
所以即为二面角的平面角，
设为点到的距离，
所以，
所以，又，
在中，
，
所以，
即二面角的余弦值为．
20．解：（Ⅰ）由得，
又因为，
所以，
解得：，，
故椭圆的方程为；
（Ⅱ）当直线与的斜率不存在时，设直线：，
设与相交于，两点，
直线：，直线：分别与轴相交于两点，，
因为，所以，
即，与已知矛盾，故直线斜率存在，
设直线：，代入整理得；
，
设，，则，
且，，
因为，所以，即，
所以，
即．
所以，
整理得：，
所以或，
当时，直线：过点，不合题意，故舍去．
所以，即，即直线的斜率是定值．
21．解：（Ⅰ）因为，
所以，
当时，，所以在上为增函数，
当时，则，由得：，
所以在上是增函数在上是减函数；
（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知：在上是增函数，在上是减函数，
所以，故，
设，
所以，
令，得，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，
所以，
所以，存在，对任意恒有．
②当时，
由（Ⅰ）知：对任意，总存在，使函数在上是增函数，
因为，所以当时，，
设．
所以，
令，
因为，，
所以必有两根，，且，，
所以函数在上是增函数，
所以对任意，存在，使函数在上是增函数，
故，即，即，
所以对任意，不存在，对任意恒有；
综上知，．
22．解：（Ⅰ）设直线与的交点，
所以和，
消去参数得的普通方程为，
把，代入上式得：
，
所以曲线的极坐标方程为（且）；
（Ⅱ）将代入得：
即，
所以，则，
即曲线与交点的极坐标分别为，．
23．解：（Ⅰ）由不等式可得：，
可化为：或或，
解得：或或，
所以原不等式的解集为；
（Ⅱ）因为，
所以的最小值为，即，
由柯西不等式得：，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．