江苏省苏州市2021届高三数学下学期2月期初学业质量阳光指标调研试题.doc

江苏省苏州市2021届高三数学下学期2月期初学业质量阳光指标调研试题

江苏省苏州市2021届高三数学下学期2月期初学业质量阳光指标调研试题

年级：
姓名：

19

江苏省苏州市2021届高三数学下学期2月期初学业质量阳光指标调研试题（含解析）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．如图，阴影部分表示的集合为
A．A(B) B．B(A)
C．A(B) D．B(A) 第1题
2．已知复数z满足iz＝1﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知等差数列的前n项和为，，则的值为
A．33 B．44 C．55 D．66
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个(11，22，…，99)，则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为
A． B． C． D．
5．如图，在斜坐标系xOy中，x轴、y轴相交成60°角，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标记作＝，在此斜坐标系xOy中，已知向量＝<2，3>，＝<﹣5，2>，则，夹角的大小为
A． B． C． D．
6．已知函数和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，，则的解析式可以是
A． B． C． D．
7．已知函数，若为锐角且，则的值为
A． B． C． D．
8．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为
A． B． C． D．

第5题
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设，则满足的正整数n的值可能为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知，，则
A． B． C． D．
11．已知双曲线C：的右焦点为F，两条直线，与C的交点分别为A，B，则可以作为的充分条件的是
A．， B．， C．， D．，
12．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AA1＝AB＝2AD＝2，E，F分别为BB1，D1C1的中点，则
A．EF⊥EC
B．BD∥平面AEF
C．三棱锥C1—CEF外接球的表面积为5
D．平面A1BCD1被三棱锥C1—CEF外接球截得的截面圆面积为
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知随机变量服从正态分布N(3，)，且，则P(3＜＜5)＝ ．
14．设F1，F2分别是椭圆C：(a＞0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则a的值为 ．
15．已知函数，若函数恰有四个零点，则实数b的取值范围是 ．
16．如图，已知球O的半径为，圆O1，O2为球O的两个半径均为2的截面圆，圆面O、圆面O1、圆面O2两两垂直，点A，B分别为圆O与圆O1，O2的交点，P，Q两点分别从A，B同时出发，按箭头方向沿圆周O1，O2以每秒弧度的角速度运动，直到两点回到起始位置时停止运动，则其运动过程中线段PQ长度的最大值为 ；研究发现线段PQ长度最大的时刻有两个，则这两个时刻的时间差为
秒．（本小题第一空2分，第二空3分） 第16题
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，sin(A＋)＝，sinA＋sinB＝sinAsinB．
（1）求△ABC外接圆的直径；
（2）求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）
随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播＋电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上Amazon、Rakuten等电商平台和以Facebook为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《2020—2025年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“6．18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80

对商品不满意

10

合计

200
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数学期望．
附临界值表：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2的观测值：（其中n＝a＋b＋c＋d）

19．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知n个圆C1，C2，…，Cn与x轴和直线l：y＝(x＋1)均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆Ci：(l≤i≤n，i，﹣1＜＜…＜＜＝8，＞0，＞0)．
（1）求数列的通项公式；
（2）记n个圆的面积之和为S，求证：S＜．

20．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点的直线l：(＞0)交拋物线C：y2＝2x于点P异于原点O），抛物线C上点P处的切线交y轴于点M，设线段OP的中点为N，连结线段MN交C于点T．
（1）求的值；
（2）过点P作圆O′：(x﹣1)2＋y2＝1的切线交C于另一点Q，设直线OQ的斜率为，证明：为定值．

21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
（1）证明：∠PAD＝∠PBC；
（2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．

22．（本小题满分12分）
已知函数，其中e是自然对数的底数，a＞0．
（1）若曲线在点(1，)处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；
（2）对于给定的常数a，若对x(0，)恒成立，求证：b≤a．

江苏省苏州市2021届高三第二学期期初学业质量阳光指标调研卷
数学试题
2021．2
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．如图，阴影部分表示的集合为
A．A(B) B．B(A)
C．A(B) D．B(A) 第1题
答案：B
解析：从图中可以看出阴影部分在A内，同时也在集合B内，故选B．
2．已知复数z满足iz＝1﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：，故z在复平面内对应的点为(﹣1，﹣1)，在第三象限，选C．
3．已知等差数列的前n项和为，，则的值为
A．33 B．44 C．55 D．66
答案：C
解析：，选C．
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个(11，22，…，99)，则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为
A． B． C． D．
答案：C
解析：，选C．
5．如图，在斜坐标系xOy中，x轴、y轴相交成60°角，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作＝，在此斜坐标系xOy中，已知向量＝<2，3>，＝<﹣5，2>，则，夹角的大小为

A． B． C． D．
答案：C
解析：由题意知，，
所以，
，，
故cos<，>＝，选C．
6．已知函数和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，，则的解析式可以是
A． B． C． D．
答案：A
解析：由题意知是奇函数，且关于直线x＝2对称，选A．
7．已知函数，若为锐角且，则的值为
A． B． C． D．
答案：D
解析：，为锐角，故(，)，
cos()(，)，故cos()＝，
＝4cos()＝，选D．
8．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为

A． B． C． D．
答案：B
解析：由“祖暅原理”可知，帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，底面正方形对角线为2，正方形边长为，V帐篷＝V正四棱柱﹣V正四棱锥＝，选B．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设，则满足的正整数n的值可能为
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：BC
解析：，要使，则，
化简得，解得n＝2或3，选BC．
10．已知，，则
A． B． C． D．
答案：BCD
解析：，，因为9＞8，∴32＞23，故2log23＞3，即x＞，A错误；
，B正确；
因为，∴，即，C正确；
由于B正确，所以很容易看出D正确．
综上选BCD．
11．已知双曲线C：的右焦点为F，两条直线，与C的交点分别为A，B，则可以作为的充分条件的是
A．， B．， C．， D．，
答案：AC
解析：，同理，要使，则，
则，又，则，故选AC．
12．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AA1＝AB＝2AD＝2，E，F分别为BB1，D1C1的中点，则
A．EF⊥EC
B．BD∥平面AEF
C．三棱锥C1—CEF外接球的表面积为5
D．平面A1BCD1被三棱锥C1—CEF外接球截得的截面圆面积为
答案：ACD
解析：易得CE⊥C1E，CE⊥C1F，从而CE⊥平面EFC1，从而EF⊥EC，A正确；
取B1C1中点G，易得FG∥BD，根据FG与平面AEF相交，可得BD与平面AEF相交，故B错误；
三棱锥C1—CEF外接球，球心O是CC1与C1F垂直平分线的交点，易求半径OC＝，故球的表面积为5，C正确；
作OH⊥CD1于点H，则OH⊥平面A1BCD1，求得OH＝，故截面圆的半径r＝，面积为，D正确．
综上选ACD．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知随机变量服从正态分布N(3，)，且，则P(3＜＜5)＝ ．
答案：0.4
解析：首先求得，所以P(3＜＜5)＝0.5﹣0.1＝0.4．
14．设F1，F2分别是椭圆C：(a＞0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则a的值为 ．
答案：
解析：易知F1F2＝AF2，即，求得a＝．
15．已知函数，若函数恰有四个零点，则实数b的取值范围是 ．
答案：＜b＜2
解析：函数恰有四个零点，可转化为与有四个交点，
，作出的简图，结合图像易知＜b＜2．

16．如图已知球O的半径为，圆O1，O2为球O的两个半径均为2的截面圆，圆面O、圆面O1、圆面O2两两垂直，点A，B分别为圆O与圆O1，O2的交点，P，Q两点分别从A，B同时出发，按箭头方向沿圆周O1，O2以每秒弧度的角速度运动，直到两点回到起始位置时停止运动，则其运动过程中线段PQ长度的最大值为 ；研究发现线段PQ长度最大的时刻有两个，则这两个时刻的时间差为
秒．（本小题第一空2分，第二空3分） 第16题
答案：，8
解析：以O1A为x轴，在圆O1中，将O1A逆时针旋转90°得到y轴，O1O为z轴，建立空间直角坐标系，则P(，，﹣1)，Q(﹣1，，)，
PQ＝，0≤t≤12，
当＝时，PQ取最大值为，此时t＝2或10，故PQ最大的两个时刻差为8．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，sin(A＋)＝，sinA＋sinB＝sinAsinB．
（1）求△ABC外接圆的直径；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）由，得，
由正弦定理得

即，
又sinA≠0，所以，
又，所以，
所以△ABC外接圆的直径；
（2）由正弦定理得，
因为，所以，
由余弦定理得，即，
结合，可得，
所以，
所以△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）
随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播＋电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上Amazon、Rakuten等电商平台和以Facebook为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《2020—2025年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“6．18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80

对商品不满意

10

合计

200
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数学期望．
附临界值表：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828
K2的观测值：（其中n＝a＋b＋c＋d）
解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

，
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；
（2）每次购物中，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，
其中

X的分布列为：

由于X~B ，则X的数学期望

19．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知n个圆C1，C2，…，Cn与x轴和直线l：y＝(x＋1)均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆Ci：(l≤i≤n，i，﹣1＜＜…＜＜＝8，＞0，＞0)．
（1）求数列的通项公式；
（2）记n个圆的面积之和为S，求证：S＜．

解：（1）设直线l与x轴、y轴分别交于点P，Q，
根据题意可知，点到x轴的距离和到直线l的距离均为半径，
所以圆心都在∠QPO的平分线上，且，
所以，则，
设圆在x轴上的切点为，
在和中，因为，
所以，
因为相邻两圆外切，所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以；
（2）如图，记圆的面积为，则，
由（1）可知，，代入上式可得，，
从而这n个圆的面积之和．

20．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点的直线l：(＞0)交拋物线C：y2＝2x于点P（异于原点O），抛物线C上点P处的切线交y轴于点M，设线段OP的中点为N，连结线段MN交C于点T．
（1）求的值；
（2）过点P作圆O′：(x﹣1)2＋y2＝1的切线交C于另一点Q，设直线OQ的斜率为，证明：为定值．

解：（1）设，点P处的切线方程为，
联立方程组，得，
由，解得；
可知切线为，
联立方程组得，即T为MN的中点，
所以；
（2）当直线PQ的斜率不存在时，其直线为x＝2，
解得，则，
当直线PQ的斜率存在时，设方程为，由题意知，
因为直线PQ与圆O′相切，所以，即，
联立方程组得到，
设，
由韦达定理可知，
又，则

综上可知为定值2．

21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
（1）证明：∠PAD＝∠PBC；
（2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．

解：（1）分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，
因为PA＝PB，所以PE⊥AB，
又因为AB∥CD，所以CD⊥PE，
又因为CD⊥EF，PE∩EF＝E，所以CD⊥平面PEF，
因为PF平面PEF，所以CD⊥PF，
在△PCD中，因为PF垂直平分CD，所以PC＝PD，
又因为PA＝PB，AD＝BC，所以△PAD≌△PBC
从而可得∠PAD＝∠PBC；
（2）由（1）可知，∠PEF是二面角P—AB—C的平面角，
设，则，
在△PEF中，，
过点E作PF的垂线，垂足为G，
则，
因为CD⊥平面PEF，CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PEF，
又因为平面PCD∩平面PEF＝PF，EG⊥PF，EG平面PEF，
所以EG⊥平面PCD，
因为AB∥平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，即为EG，
设直线PA与平面PCD所成角为，所以，
令，
则，
所以当且仅当，即时，EG有最大值2，
此时直线PA与平面PCD所成角为θ的正弦值最大
所以当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，二面角P—AB—C的大小为．

22．（本小题满分12分）
已知函数，其中e是自然对数的底数，a＞0．
（1）若曲线在点(1，)处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；
（2）对于给定的常数a，若对x(0，)恒成立，求证：b≤a．
解：（1）因为，所以切线斜率为，
即，
构造，
由于，所以在上单调递增，
又，所以；
（2）设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
若对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
设，
由（*）可知，
当且仅当时等号成立
由，因为，所以单调递增，
又，
所以存在，使得，
即方程有唯一解，
所以b≤a得证．