山东省乳山市第一中学2021届高三数学10月学情检测试题.doc

山东省乳山市第一中学2021届高三数学10月学情检测试题

山东省乳山市第一中学2021届高三数学10月学情检测试题

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山东省乳山市第一中学2021届高三数学10月学情检测试题
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.已知集合，，则的子集共有( )
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个
2..已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知向量，若，则( )
A.5 B.4 C.3 D. 2
4.已知函数对任意，都有，且，则( )
A. B. C. D.
5.设为第二象限角，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若正实数满足，则的最小值为( )
A.4 B.8 C.9 D. 13
7.已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，
无穷无尽. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为( )
A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡
二、多项选择题（每小题5分，共20分）
9.下列命题正确的是( )
A. 若角，则
B. 任意的向量，若，则
C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是
D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称
10.函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上
是增函数
D. ，若恒成立，则的最小值为
11.若为正实数，则的充要条件为( )
A. B. C. D.
12.已知函数，函数，下列选项正确的是( )
A. 点是函数的零点 B. ,使
C.函数的值域为
D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.在等差数列中，若，则_________.
14._________.
15.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．
16.已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围是__________；若不等式有解，则的取值范围是___________. （第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题（共70分）
17(10分）.在中，分别为角所对的边，且.
（1）求角.
（2）若 ，求的最大值.
18.（12分）已知数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）已知曲线若为椭圆，求的值；
19.（12分如图, 在直四棱柱中， ,
分别为的中点，.（1） 证明：平面.
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.

（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方
法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，
并根据列联表的独立性检验，判断是否有的把握认为经常使用共享单车与年
龄有关？

使用共享单车情况与年龄列联表

年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户

120
不常使用单车用户

80
合计
160
40
200
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享
单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望.
（参考数据：独立性检验界值表

0.15
0.10
0.050
0.025

0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，

21.（12分）已知椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围．

22.（12分）已知函数.
（1）求的极值；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
答案
1-5BABDA 6.-8：CDB 9.：BC 10.：ABD 11.：BD 12：BC
13.8 14.：-1 15.：900 16.：;
16.解析：由题可得，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有,解得.
若不等式有解，所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，故，
所以，所以的取值范围是.
17.答案：（1）即
（2）由可得，

（其中） 的最大值为
18.（1）对任意的，，则且，
所以，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；
（2） 由（1）可得，.
当时，，
也适合上式，所以，.
由于曲线是椭圆，则，即，
，解得或2；
19.答案：（1）连接,易知侧面为矩形，为的中点,为的中点.
为的中点,平面,平面平面
（2）在平面中，过点作，易知平面,
故以为原点，分别以所在直
线为轴建立如图所示空间直角坐标系，

设,
则，，
设平面的法向量为,
由即解得
令，得，所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
20.（1）补全的列联表如下：

年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200
于是
即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.
（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，

∴的分布列为

0
1
2
3

0.729
0.243
0.027
0.001
∴的数学期望.
21.答案：（1）由，得， 所以椭圆的标准方程为．
（2）根据题意可设直线的方程为，联立，整理得，
由，得．设，则 又设的中点为，则.
由于点在直线上，所以，得代入，得，所以①
因为，所以
.由，得，即
所以，即②由①②得. 故实数的取值范围为.

22. （1）的定义域为，，
当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，
当时，，所以无极值，
当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.
（2）设，即，
.
①若，则当时，单调递减，当时，单调递增，至多有两个零点.
②若，则（仅）. 单调递增，至多有一个零点.
③若，则，当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.
由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.
④若，则.当或时，，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，
由，得，由及，得，
.并且，当时，，
，
.
综上，使有三个零点的的取值范围为.