江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题年级：姓名：- 17 -江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.已知为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由条件可得，再结合，可得，即可选出答案.【详解】因为，所以因为，所以，所以当时，、都不成立故选：B【点睛】本题考查的是指数不等式的解法及不等式的性质，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合和中的不等式即可.【详解】由可得或，所以因为或，所以所以故选：A【点睛】本题考查的是分式不等式、一元二次不等式的解法和集合的运算，属于基础题.3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若，则ABC的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理，可将变形为，即，因为为三角形内角，所以，则故此三角形为等腰三角形故A正确考点：正弦定理4.设成等比数列，其公比为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，选B.5.在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11( )A. 18B. 99C. 198D. 297【答案】B【解析】【分析】由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a6，再由等差数列的前n项和公式求出S11【详解】a3+a9=27a6，3a6=27，a6=9， 故选B【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用6.在中，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】分析：在中，由正弦定理，得，即可得到角，进而得到结论详解：由题意，由正弦定理，则有，因为，所以或，当时，当时，故选D点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题7.已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（）A. 1B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】根据a+b2，当且仅当a=b=2时取等号，代入计算即可求出ab的最小值【详解】ab=a+b2，2，ab4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab最小值为4，故选D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8.已知函数，（且）的图像恒过点，若直线经过点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数过定点，得到函数，（且）的图象恒过点，由此得到关于，的等式，利用基本不等式求最小值【详解】解：由已知得到对数函数过定点，得到函数，（且）的图象恒过点，又直线经过点，所以，所以；当且仅当时等号成立；故选：C【点睛】本题考查了对数函数的图象以及利用基本不等式求最小值，属于中档题9.有两个等差数列，其前项和分别为和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数列，的公差分别为，分析得到,即得解.【详解】设等差数列，的公差分别为，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知数列，是首项为，公比为的等比数列，则下列项中是数列中的项是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，当时，故选D.考点：等比数列、累乘法求通项公式11.设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为（ ）A. 6B. 7C. 12D. 13【答案】C【解析】由,利用等差数列的性质可得：,又0，0,0的最大自然数n的值为12.故选C.点睛：求解等差数列问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.由此得：，当为奇数时，当为偶数时，.12.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由得两式相减得，故，两式相减得又由得，所以，因为对任意恒成立，所以，解得选A.考点：数列通项，不等式恒成立【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an（n2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若不等式对于一切恒成立，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求在上的最小值即可.【详解】不等式对于一切恒成立，即在上恒成立.又，当且仅当时取等号.故，即的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值的应用，同时也考查了参变分离求函数最值的方法，属于基础题.14.已知函数，则函数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式求函数的最小值得解.【详解】由题得，因为，所以.当且仅当时取最小值.故答案为：5.【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.15.在中, 是角所对的边长,若,则_【答案】1【解析】分析：根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出的值.详解：由正弦定理得，又由余弦定理知 ，. 点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.16.锐角中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由条件结合余弦定理可得，然后可得，然后可得出，由是锐角三角形求出的范围，即可得到答案.【详解】因为，所以所以，所以所以，所以所以或即或（不符合题意，舍去），所以因为是锐角三角形，所以解得，所以故答案为：【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设为等差数列，为数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件建立方程组解出和即可；（2），利用等差等比数列的前项和公式计算即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，解得，；（2）由（1）得，.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18.递增等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.（1）求的首项和公比；（2）设，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意利用等比数列的性质，可得，解出设公比为，得且，由等差中项的定义建立关于的方程，解出的值，进而可得的首项；（2）由（1）得，从而得到，再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求的表达式【详解】（1）根据等比数列的性质，可得，解之得.设数列的公比为，则，由题设可得，解之得或.是递增数列，可得，得.因此，解得；（2）由（1）得的通项公式为，是以4为首项，公比等于2的等比数列.因此.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项与性质、等差中项的定义和等比数列的前项之和公式等知识，属于中档题19.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向300千米的海面处，并以20千米/时的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【解析】【分析】设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，由题意得，在中， 由余弦定理得：.【详解】解：设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，由题意得，由余弦定理得：即即解得，答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【点睛】本题主要考查了余弦定理在实际生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.20.已知锐角的内角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求得，得角；（2）由余弦定理结合基本不等式得，由得，从而可得结论【详解】（1）因为，由正弦定理得：，即，所以.又因为为锐角三角形，有，所以，则.（2）由，得.又由余弦定理得，当且仅当b=c等号成立所以.所以.即的最小值为.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键是由正弦定理进行边角转换后快速求得角本题属于中档题21.如图 ,在平面四边形中，.()若,求面积；()若，求.【答案】（1）（2）【解析】分析：()由余弦定理求出，再用公式求得面积；()设，在中用正弦定理表示出，然后在中把用表示后，再由正弦定理得的等式，从而可求出.详解：()在中，由余弦定理得，即，解得或(舍去)，所以的面积.()设，在中，由正弦定理得，,即，所以.在中，则，即，即，整理得.联立，解得，即.点睛：在已知两边和一边对角时一般可用正弦定理求出另一边所对角，从而得三角形的第三角及第三边，也可直接利用余弦定理列出关于第三边的方程，解方程得第三边长.22.已知等差数列的前项和为，并且，数列满足：，记数列的前项和为.（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）求证：.【答案】(1) ，；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意代入即可求得，再求出公差，根据等差数列的通项公式与求和公式求解项公式及前项和公式即可.(2)易得，再根据错位相减法求解，进而证明即可.【详解】(1) 设等差数列的公差为，则当时，即.故，故.此时.故，(2)由可得，所以故-：故故因为，故随的增大而增大，故.又，故.综上所述，【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，同时也考查了等差数列求和公式与错位相减求和的方法，属于基础题.