江苏省徐州市丰县中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题.doc

江苏省徐州市丰县中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

江苏省徐州市丰县中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

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- 17 -

江苏省徐州市丰县中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一､单选题
1. 复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得对应的点的坐标，由此判断出对应的点所在象限.
【详解】依题意对应点为，
对应点在第二象限.
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断.
2. 函数在[0，π]上的平均变化率为( )
A. 1 B. 2 C. π D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】平均变化率为.
故选：C
【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.
3. 若复数满足（是虚数单位），则为（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求得，由此求得.
【详解】依题意，
所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查复数除法运算，复数的模的运算，属于基础题.
4. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
观察导函数图像，结合极小值点定义即可得出答案.
【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，
由图得：导函数值先负后正的点只有一个，
故函数在内极小值点的个数是1.
故选：A.
【点睛】本题考查极小值点的定义，考查导函数图像与极值点的关系，属于基础题.
5. 将4个不同文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分步乘法计数原理，即可得答案.
【详解】每一个文件都有三种不同的发法，共有34种不同方法.
故选：A.
【点睛】本题考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题.
6. 已知，，，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得.
【详解】设，则，.
依题意得：，
.
所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.
7. 若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
【详解】解：设，则
令，则，
，，，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为．
点到直线的最小距离就是平行于直线且与曲线相切的切点到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得．
故选：A．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
8. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一.洛书上记载，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆为阳数，四隅黑点为阴数”，这就是有记载的最早的三阶幻方.按照这样的说法，将1到9这九个数字，填在如图2的九宫格中，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15的结果数为（ ）

A. 16 B. 32 C. 8 D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，分别对九宫格除中间位置依次标记为①②③④⑤⑥⑦⑧，根据题意先从中选出一个数填入①位置，再假设①填，列举出其他位置填入数字的情况，即可得出结果.
【详解】
九宫格的中间填，①③⑤⑦位置填偶数，②④⑥⑧位置填奇数，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15，
所以①⑤、③⑦位置填或；
先从中选出一个数填入①位置，则有个结果；
若①填，
则⑤填，③填，⑦填，②填，④填，⑥填，⑧填；
或⑤填，③填，⑦填，②填，④填，⑥填，⑧填；
共包含2个结果；
因此，总的结果个数为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查列举法确定基本事件的个数，属于基础题型.
二､多项选择题
9. 下列等式中，成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据排列数公式和组合数性质判断．
详解】，A错；
根据组合数性质知正确；
，D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查排列数公式和组合数性质，排列数有关的证明中常常把排列数用阶乘表示，然后乘法法则配凑出结论．
10. 已知函数的定义域为，部分函数值如表1，的导函数的图象如图1.下列关于函数的性质，正确的有（ ）

A. 函数在是减函数
B. 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4
C. 函数有4个零点，则
D. 函数在取得极大值
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据导函数的图像，先判断函数的单调性，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】由导函数的图像可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
故A正确；
B.如果当时，的最大值是2，由函数单调性可知：的最大值为，故B错；
C.函数有4个零点，即图像与有个交点，由的定义域为，且，取得最大值为，所以时，有两个交点，因此；故C正确；
D.因为函数在上单调递增，所以处不可能取得极值，故D错.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查导函数与函数之间的关系，根据导函数的图像判断函数单调性是解决该题的关键，属于常考题型.
11. 已知，则以下关系成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
结合各选项进行代入验证．
【详解】，则，
所以，A正确；
，∴，B正确；
，C错；
，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查复数的运算，掌握复数的运算法则和共轭复数的概念是解题基础．

12. 设函数，若函数有三个零，则实数可取的值可能是 ( )
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据函数零点的定义转化为有三个根，利用数形结合进行求解即可.
【详解】由题意，函数有三个零点，则函数，
即有三个根，
当时，，则
由得，即，此时为减函数，
由得，即，此时为增函数，
即当时，取得极小值，作出的图象如图：

要使有三个根，则，则实数可取的值可能是，1
故选：BC
【点睛】本题考查利用零点个数求参数范围问题，利用导数研究函数图象，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，综合性较强，有一定难度.
三､填空题
13 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据组合数的计算公式，计算出所求的组合数.
【详解】依题意.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查组合数的计算，属于基础题.
14. 一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）
【答案】
【解析】
【分析】
根据棣莫弗定理计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义，理解新定义是解题关键．
15. 若展开式的二项式系数和为64，则展开式中的常数项是第______项.
【答案】 (1). 6 (2). 5
【解析】
【分析】
根据二项式展开式的二项式系数和求得，进而结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项是第项.
【详解】由于二项式展开式的二项式系数和为，即，所以.
二项式展开式的通项公式为，
令，解得.
所以展开式中的常数项是第项.
故答案为：；
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于基础题.
16. 对于总有成立，则= 　 ．
【答案】4
【解析】
本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想．
要使恒成立，只要在上恒成立．

当时，，所以，不符合题意，舍去．
当时，即单调递减，，舍去．
当时
① 若时在和上单调递增，
在上单调递减．
所以
② 当时在上单调递减，
，不符合题意，舍去．综上可知a=4
四､解答题
17. （1）已知，请用导数的定义证明：；
（2）用公式法求下列函数的导数：①；②.
【答案】（1）证明见解析（2）①；②.
【解析】
【分析】
（1）由导数定义证明；（2）根据导数的加法和乘法法则求导．
【详解】（1）；
（2）①，则；
②，则．
【点睛】本题考查导数的定义，考查导数的运算法则，掌握基本初等函数的导数是解题基础．
18. 若是关于x的实系数方程的一个复数根．
（1）试求b，c的值；
（2）在复数范围内求出该方程的另一个根．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将带入方程化简即可得到答案；
（2）由（1）方程为，再利用求根公式即可.
【详解】（1）将带入方程得，化简得
，所以，解得.
（2）由（1）可知方程为，用求根公式可得，所以该
方程的另一个根为.
【点睛】本题考查复数的运算，通过本题可知实系数方程的虚根是成对出现的，也即若是方程 的根，则也一定是该方程的根.
19. 从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．
(1)共有多少种不同的选派方法？
(2)若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同选派方法？
(3)若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？
（注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．）
【答案】(1)7200 （2）720 (3) 6336
【解析】
(1)先选后排.所以有种.
(2)先满足女生甲担任语文科代表,然后再选3男1女，担任其它学科课代表.有种.
（3）要分两类研究：一是选出男生乙,满足条件应该有种.
二是没选出男生乙种.所以共有种方法
20. 在二项式的展开式中.
（1）求该二项展开式中含项的系数；
（2）求该二项展开式中系数最大的项.
【答案】（1）160；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在通项公式中，令的幂指数等于3，求得的值，可得含项的系数．
（2）根据，求得的值，可得结论．
【详解】（1）二项展开式中，通项公式为，令，求得，
故含项的系数为.
（2）设第项的系数最大，由，解得，故
故该二项展开式中系数最大的项为
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
21. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
【解析】
解：（Ⅰ）设隔热层厚度，由题设，每年能源消耗费用为.
再由，得，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令，即.
解得，（舍去）.
当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
22. 已知函数，.
（1）当时，求该函数在处的切线方程；
（2）求该函数的单调区间和极值；
（3）若函数在其定义域上有两个极值点，且，求证：.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求得切线斜率，根据切点和斜率由点斜式求得切线方程.
（2）求得，对分成和两种情况，讨论的单调区间和极值.
（3）求得表达式和导函数，根据是方程的两个不同实根列方程组，化简表达式，通过构造函数法，证得不等式成立.
【详解】（1）当时，，则，故，又
故切线方程为，即
（2），，
当时，在恒成立，的增区间为，无极值.
当时，令，，则当，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的单调增区间为，
单调减区间，有极大值，无极小值.
（3），则，所以是方程的两个不同实根.
于是有
故有
所以：
令，则，即证
设，，则，所以为为增函数，
又，因此，，故当时有，所以.
【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，考查利用导数证明不等式，属于难题.