高一数学第二章2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案.doc

甘肃省永昌县第一中学高一数学：第二章2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义

学习目标
1说出平面向量的数量积及其几何意义；
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
学习重点
平面向量的数量积及其几何意义
学习难点
平面向量的数量积及其几何意义
教学设计
一、目标展示
二、自主学习
（一）复习：
⑴向量加法和减法运算的两个法则是 和 .
⑵向量数乘运算的定义是
.
（二）[读教材·填要点]
1．平面向量数量积的定义
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|·cos θ叫做a与b的 (或内积)，记作 ，即
规定零向量与任一向量的数量积为
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影：|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 方向上( )的投影．
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积．
3．向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔
(2)当a与b同向时，a·b＝
当a与b反向时，a·b＝
(3)a·a＝ 或|a|＝ ＝
(4)cos θ＝ .
(5)|a·b| |a||b|.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律)．
(2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)．
(3)(a＋b)·c＝ (分配律)．
三、合作探究
探究1．向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？

探究2．投影是向量还是数量？

探究3．对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？

探究4．若a，b是非零向量，则|a·b|＝|a||b|一定成立吗？

探究5．若a，b，c是非零向量，且a·c＝b·c，则a＝b一定成立吗？

四、精讲点拨
[例1]　已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b.
(1)θ＝135°；2)a∥b；(3)a⊥b.

若本例条件变为“θ＝120°”，试求(2a－b)·(3a＋2b)．

[悟一法]
求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
[通一类]
1．在等边△ABC中，边长为1，求·，·.

[例2]　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．

[悟一法]
1．求向量夹角的方法：
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈[0，)；当cos θ<0时，θ∈(，π]，当cos θ＝0时，θ＝.
[通一类]
2．已知a、b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b的夹角．

[例3]　已知|a|＝7，|b|＝4，|a＋b|＝9，求|a－b|.

[悟一法]
1．处理模的计算问题时，一般是将模平方转化为向量的运算进行处理．
2．由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2相加可得|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．其几何意义是平行四边形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
[通一类]
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
五、达标检测
1．教材P106第1——3题
2．在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，则三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形　　　　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不能确定
3．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于(　　)
A．12 B．－12
C．12 D．－12
4．如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角θ的大小为 (　　)
A．30° B．45° C．75° D．135°
5．设向量a，b满足：|a|＝1，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|＝________.
6．已知a·b＝12，且|b|＝5，则向量a在向量b方向上的投影为______．
7．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
六、课堂小结
1. 向量数量积的定义；
2. 由定义推出的相应结论.
※ 拓展提高（解题高手——审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！）
设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

课后作业
1. 教材P106第1——3题
2. 已知，与的夹角为，
求：⑴；⑵；⑶.
3. 试证明：若四边形满足，且，则四边形是矩形.
教后反思