甘肃省金昌市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题-文.doc

甘肃省金昌市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文

甘肃省金昌市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文

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8

甘肃省金昌市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2． 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
一、选择题：(每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案)
1.已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(　　 )
A.(－1，3) B.(－1，－3) C.(－2，－3) D.(－2，3)
2．复数＝( )．
A．i B．－i C．－－i D．－＋i
3.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（ ）。
A. B.
C. D.
4.如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（　　）
A.性别与喜欢理科无关
B.女生中喜欢理科的比例约为80%
C.男生比女生喜欢理科的可能性大些
D.男生中不喜欢理科的比例约为60%
5.极坐标方程ρ·sinθ＝2sin2θ表示的曲线为(　　)
A.两条直线 B.一条射线和一个圆
C.一条直线和一个圆 D.圆
6.函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　)
A.0＜b＜1 B.b＜1 C.b＞0 D.b＜
7. 已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。
A. B. C. D.
8．下列是x与y之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y关于x的回归方程＝x＋，对应的直线必过点（　　）
A. B. C.（2，2） D.（1，2）
9．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )．
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
10.设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f (x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf ′(x)的图象可能是(　　)

11.函数y＝在定义域内(　　)
A.有最大值2，无最小值 B.有最大值2，最小值－2
C.无最大值，有最小值－2 D.无最值
12.设函数f (x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈[0，]，则导数f ′(1)的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.[，] C.[，2] D.[，2]
二、 填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
13.在评价建立的线性回归模型刻画身高和体重之间关系的效果时，R 2＝________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机变量贡献了剩余的36%”．
14.设i为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．
15.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
16.若直线3＋4＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
三、 解答题（本大题有6题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分) 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
⑴（为参数）； ⑵（为参数）

18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68

(1)求线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

19.(12分) 在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查.调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动.
（1）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表：

看电视
运动
总计
女

男

总计

（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？
注：K 2＝，（其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）
P（K 2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635

20.(12分)在直角坐标系中，圆C1：2＋2＝4，圆C2：(－2)2＋2＝4.
(1)在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

21.(12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝时取极大值.
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2处的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值.

22.(12分)已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R).
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若a＝－1，求证：当x>1时，f(x)C 11.B 12.D
二、 填空题
13. 0.64 14. -4 15. e2 16.(－∞，0)∪(10，＋∞)
三、 解答题
17.解：⑴∵ ∴两边平方相加，得 即 ∴曲线是长轴在x轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆。 5
⑵．∵∴由代入，得 ∴
∴它表示过（0，）和(1, 0)的一条直线。 10
18.解　(1)＝＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
∵＝－20，＝－，
∴＝80＋20×8.5＝250，
∴线性回归方程＝－20x＋250. 6
(2)设工厂获得的利润为L元，则L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－202＋361.25，
∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大． 12

19.解　（1）根据题目所提供的调查结果，可得下列2×2列联表：

看电视
运动
总计
女
30
25
55
男
20
35
55
总计
50
60
110
5
（2）根据列联表中的数据，可计算K2的观测值k：
k＝≈3.667，
因为k≈3.667＜k0＝3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”. 12

20.解　(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一． 6
(2)法一　由得圆C1与C2交点的直角坐标分别
为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(－≤t≤)．

法二　将x＝1代入得ρcos θ＝1，
从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
12
21.解　(1)f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，
又因为当x＝－1，x＝时，函数分别取得极小值、极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根.
所以a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，则f (x)＝－x3－x2＋2x，f ′(x)＝－3x2－x＋2.
当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).
又因为切线斜率k＝f ′(－2)＝－8，
所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即8x＋y＋14＝0. 6
(2)由(1)知，f ′(x)＝－3x2－x＋2＝－(x＋1)(3x－2).
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，)

(，1)
1
f ′(x)

－
0
＋
0
－

f(x)
2
单调递减
－
单调递增

单调递减

因此，f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－. 12
22.(1)解　f ′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f ′(x)＝x－＝，因为f (x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0，2)时，f ′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f ′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4. 4
(2)解　因为 f ′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，
f ′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
当a＞0时，f ′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增区间(，＋∞)；递减区间为(0，). 8
(3)证明　当a＝－1时，f (x)＝x2＋ln x.
设g(x)＝x3－x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－.因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3，即f(x)＜x3. 12