甘肃省兰州市2021届高三数学下学期第一次诊断性考试试题-文.doc

甘肃省兰州市2021届高三数学下学期第一次诊断性考试试题 文

甘肃省兰州市2021届高三数学下学期第一次诊断性考试试题 文

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甘肃省兰州市2021届高三数学下学期第一次诊断性考试（一模）试题 文
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。
2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg(1－x)}，则M∪N＝
A.[0，1) B.[0，1] C.(－∞，1) D.(－∞，1]
2.已知复数z满足(1－i)(3＋z)＝1＋i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为
A.3－i B.3＋i C.－3－i D.－3＋i
3.某学校高一开展数学建模活动，有3位教师负责指导该活动，若甲、乙两名同学分别从这三位教师中选择一位作为自己的指导教师，则他们选择同一位教师的概率是
A. B. C. D.
4.若双曲线(a>2)的一条渐近线经过点P(2，1)，则双曲线的焦距是
A. B.2 C.4 D.4
5.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图，s12，s22分别表示甲、乙两组数据的方差，则s12，s22大小关系正确的是

A.s12>s22 B.s12＝s22 C.s12 D.1
8.函数f(x)＝xex的图象如图所示，则函数f(1－x)的图象为

9.《九章算术·商功》有如下叙述：斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”(阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓)。取一个长方体，按下图所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵。再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个。其中以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马。余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑。那么如图所示，a＝3，b＝4，c＝5的阳马外接球的表面积是

A.20π B.25π C.50π D.200π
10.若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上存在一点P，使|PF1|－|PF2|＝2b，|PF1|·|PF2|＝，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
11.英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ℃，环境温度是θ℃，那么经过t小时后物体的温度θ℃将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt。通过实验观察发现，在20℃的室温下，一块从冰箱中取出的－20℃的冻肉经过0.5小时后温度升至0℃，在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为100℃的水，冷却到40℃，大约经过的时间为(忽略体积等其它因素的影响)
A.1小时 B.1.5小时 C.2小时 D.2.5小时
12.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0)时f'(x)>2x，则不等式f(3x－1)－f(2)> (3x－3)(3x＋1)的解集为
A.(－∞，) B.(－∞，)∪(1，＋∞) C.(1，＋∞) D.(－，1)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2题～第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)＝，则f(f())＝ 。
14.已知x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为 。
15.已知等差数列{an}的公差大于0，其前n项和为Sn，且a2·a5＝10，a3＋a4＝7，则tan＝ 。
16.如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1的中点，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bcos＝asinB。
(I)求A；
(II)若a＝6，△ABC的面积S＝2，D为BC的中点，求AD的长。
18.(本小题满分12分)
在三棱锥P－BCD中，A是CD的中点，AB＝AC，BC＝6，PB＝BD＝6，PC＝12。

(I)证明：BC⊥平面PBD；
(II)若PD＝6，求点A到平面PBC的距离。
19.(本小题满分12分)
某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一只该种昆虫在温度x℃时相对应产卵数个数为y的8组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如下散点图：

(I)根据散点图，甲、乙两位同学分别用y＝bx＋a和z＝dx＋c(其中z＝lny)两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数R2更接近1；(给出判断即可，不必说明理由)
(II)根据(I)的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关系进行回归分析的模型，并利用下表中数据，计算该模型的回归方程：(方程表示为y＝f(x)的形式，数据计算结果保留两位小数)

(III)据测算，若一只此种昆虫的产卵数超过e4，则会发生虫害。研究性学习小组的同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在25℃左右，试利用(II)中的回归方程预测，近期当地是否会发生虫害。
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为，。
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝。
(I)求函数y＝f(x)的单调区间；
(II)若函数g(x)＝f(x)－ax(a∈R)，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知抛物线y2＝4x及点P(4，0)。
(I)以抛物线焦点F为圆心，|FP|为半径作圆，求圆F与抛物线交点的横坐标；
(II)A、B是抛物线上不同的两点，且直线AB与x轴不垂直，弦AB的垂直平分线恰好经过点P，求的范围。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝。
(I)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(II)已知点P是曲线C2上一点，求线段OP的中点M到曲线C1距离的最小值。
23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知f(x)＝－|x＋a|－|x－3|。

(I)当a＝－1时，画出函数y＝f(x)的图象；
(II)若关于x的不等式f(x)≥－a2－1有解，求实数a的取值范围。