江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题-理.doc

江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题 理

江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题 理

年级：
姓名：

16

江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题 理
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是虚数单位，的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（ ）
A．，∥， B．，，∥
C．，，∥ D．，∥，
3．设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作
正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．表示空间中的两条直线，若：是异面直线；：不相交，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视
图不可能是（ ）

7．已知是虚数单位，得“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知长方体中，、与底面所成的角分别为和
，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．

10．如图，在棱长均相等的四棱锥
中，为底面正方形的中心，分别为
侧棱的中点，有下列结论：
①∥平面；
②平面∥平面；
③；
④直线与所成角的大小为．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③
C．②③ D．②③④

11．在中，，，，为的中点，
将沿折起，使点间的距离为，则折起后点
到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
12．如图，在中，，．若平面
外的点和线段上的点，满足，，则
四面体的体积最大时其外接球的表面积是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13．已知，是虚数单位，若为纯虚数，则______．
14．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均
相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是____．
15．已知正方体的棱长为，是线段上的一点且
，是平面内一动点，则的最小值是____．

16．如图，在直角梯形中， ，∥，，点是线段上异于点的动点， 于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）如图，在三棱锥中，，，
，．
（1）根据图中所给的主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）上已画出该三
棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；
（2）求证：．

18．（本题满分12分）如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底
面边长为3，侧棱长为2．
（1）求此正四棱台的侧面积；
（2）求此正四棱台的体积．

19．（本题满分12分）在四棱锥中，底面为正方形，为的
重心．
（1）设，若∥平面，求实数的值；
（2）若平面，且，求异面直线与所成的角．

20．（本题满分12分）如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿
着将折到的位置，使得平面平面，是线段，
上的两个动点（不含端点），且，平面与平面相交于．
（1）求证：∥；
（2）为上一个动点，求平面与平面所成
锐二面角的最小值．

21．（本题满分12分）如图甲，设正方形的边长为3，点分别在
上，且满足，．将直角梯形沿折到的位
置，使得点在平面上的射影恰好在上，如图乙所示．

（1）证明：∥平面；
（2）求二面角的余弦值．

22．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，若，
，，且．
（1）求证：平面平面；
（2）若，试问在线段上是否存在点，
使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点
的位置，若不存在，请说明理由．

江西师大附中高二（理）数学月考答案
命题人： 审题人： 2021．4

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是虚数单位，的虚部是（）A
A．B． C． D．
2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（）C
A．，∥， B．，，∥
C．，，∥ D．，∥，
3．设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）D
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作
正方体的截面，则这个截面的面积为（）C
A． B． C．D．
5．表示空间中的两条直线，若：是异面直线；：不相交，则是的（A）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视
图不可能是（）C

7．已知是虚数单位，得“”是“”的（）A
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知长方体中，、与底面所成的角分别为和
，则异面直线和所成角的余弦值为(　　)A
A．B．C． D．
9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）B

A． B． C． D．
10．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底
面正方形的中心，、分别为侧棱，的中点，
有下列结论：
①∥平面；②平面∥平面；
③；④直线与所成角的大小为．
其中正确结论的序号是（）B
A．①②B．①②③
C．②③ D．②③④

11．在中，，，，为的中点，将沿折
起，使点间的距离为，则折起后点到平面的距离为（）A
A． B． C．1 D．
12．如图，在中，，．若平面
外的点和线段上的点，满足，，则
四面体的体积最大时其外接球的表面面积是（）．D
A． B． C． D．

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13．已知，是虚数单位，若为纯虚数，则______．
14．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱
的体积为，球O的体积为，则的值是______．

15．已知正方体的棱长为，
是线段上的一点且，是平面
内一动点，则的最小值是______．
16．如图，在直角梯形中，，∥，，点是线段上异于点的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）如图，在三棱锥中，，，，．
（1）根据图中所给主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）中已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；
（2）求证：．

【解析】（1）三棱锥的左视图和俯视图如图所示
…………………………………………5分
注：对一个给3分，全对得5分
（2）因为，，，
由勾股定理得，，………………………………………………7分
从而， ………………………………………………………………9分
所以． ………………………………………………………………………10分
18．（本题满分12分）如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.
（1）求此正四棱台的侧面积；
（2）求此正四棱台的体积．

【解析】（1）如图，连接，作，易知平面，…………1分
再作，连接，则，……………………………………………2分
在梯形中，易得， ……………………………………………………4分
所以此正四棱台的侧面积为；……………………………………6分
（2）在，，，……………………………………………8分
所以此正四棱台的体积为；…………………………………12分
19．（本题满分12分）在四棱锥中，底面为正方形，为的重心．
（1）设，若∥平面，求实数的值；
（2）若平面，且，求异面直线与所成的角．

【解析】（1）连接并延长交于，连接，，…………………………1分
因为∥平面，所以∥，………………………………………………3分
由为的重心，得，……………………………………………………5分
从而，故；………………………………………………………………6分

（2）分别在取线段的中点，连接，…………7分
易证∥，∥， ………………………………………………………8分
从而异面直线与所成的角为或其补角，……………………………9分
设，易得，，………………………………………10分
由平面，得，从而得，…………………………11分
在中，，所以，
故异面直线与所成的角为．………………………………………………12分

20．（本题满分12分）如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，是线段，上的两个动点（不含端点），且，平面与平面相交于．
（1）求证：∥；
（2）为上一个动点，求平面与平面所成锐二面角的最小值．
【解析】（1）证明：因为，所以∥，…………………………2分
因为平面，平面，∥平面，…………………4分
平面与平面相交于，平面，所以∥； …………6分
（2）取中点，连接，，
则平面，且，……………………7分
过点作于，连接，则，
所以为所求锐二面角的平面角，记为， ……8分
所以，当最大时，最小，……9分
因为，所以在以为直径的圆上，
当与重合时，的最大值为1，……………11分
所以，从而的最小值为．……12分
21．（本题满分12分）如图甲，设正方形的边长为3，点分别在上，且满足，．将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上，如图乙所示．
（1）证明：∥平面；
（2）求二面角的余弦值．

【解析】（1）在题图甲中，易知∥，从而在题图乙中有∥，……2分
又∥，从而平面∥平面，…………………………………………4分
因为平面，所以∥平面；……………………………………6分
（2）如图（1），过点作于点，连接，因为平面，
所以，又，所以平面，从而，
所以为二面角的平面角．………………………………………8分
在图（2）中有，又，所以三点共线，
设的中点为，则连接，可证，
所以，则．
易知，所以， ……………………10分
， ……………………………………………………………11分
在中，，
即二面角的余弦值为． ………………………………………………12分

22．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，若，，，且．
（1）求证：平面平面；
（2）若，试问在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由得，………………1分
设，
由余弦定理得，…………………………2分
进一步化简得，从而，…………………………………3分
取中点，因为，所以， ……………………………4分
因为，所以，从而， ………5分
由且得平面，
又平面，平面平面．…………………………………6分

（2）作，由（1）知，平面，
从而平面平面，连接，作，
易知平面，且∥，
连接，则为直线与平面所成的角，……………………8分
由题意知，设，从而，
因为，所以
在中，，……………………………………………………9分
因为∥，所以，得，……………………………10分
在中，由正弦定理得，，……………………………11分
从而，所以，因此为线段中点．…………12分