湖南省娄底市2021届高三数学下学期4月仿真模拟试题.doc

湖南省娄底市2021届高三数学下学期4月仿真模拟试题

湖南省娄底市2021届高三数学下学期4月仿真模拟试题

年级：
姓名：

14

湖南省娄底市2021届高三数学下学期4月仿真模拟试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 设，若复数的实部与虚部相等（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1 D. 3
2. 已知平面向量，，向量与向量的夹角为，则实数的值为（ ）
A. 0 B. 3 C. 0或3 D. 或3
3. 若非空集合，，满足，且不是的子集，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示：
广告支出费用
2.2
2.6
4.0

5.3
5.9
销售量
3.8
5.4
7.0
11.6
12.2
根据表中的数据可得回归直线方程，，以下说法正确的是（ ）
A. 第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般
B. 第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好
C. 销售量的多少有是由广告支出费用引起的
D. 销售量的多少有是由广告支出费用引起的
5. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 化学平衡是指一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化（）的热力学公式吉布斯—亥姆霍兹方程和范特霍夫方程，可以得到温度（）与可逆反应的平衡常数（）的关系式：.式中为焓变（在一定温度变化范围内视为定值），为熵变，为气体常数.利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已知当温度为时，可逆反应的平衡常数为；当温度为时，可逆反应的平衡常数为.则（ ）
A. B. C. D.
7. 2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ）
A. 36种 B. 54种 C. 72种 D. 144种
8. 已知等比数列的公比，其前项的和为，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 函数的最小值是2
10. 已知点，过圆上的一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，两个切点、之间的线段称为切点弦.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 四边形的面积为
11. 函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
12. 我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为.如下图所示，已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则下列结论正确的是（ ）

A. 圆柱体的体积为 B.
C. 环体的体积为 D. 环体的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则__________.
14. 已知圆锥的顶点为，、是圆锥的母线，若，三角形的面积为，母线和圆锥底面所成角为，则该圆锥的侧面积为__________.
15. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________.

16. 已知函数，若，则的取值范围为__________.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和.
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若点为边上一点，且，，，求的面积.
19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，，点是棱上的点.

（1）证明：平面；
（2）已知，点是上的点，，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的值.
20. 某市高中生夏季运动会上，通过分组循环赛和交叉淘汰赛，最后由甲队女排与乙队女排进行决赛，组委会确定决赛以“五局三胜”赛制进行，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为，其余各局甲队获胜的概率均为.
（1）求甲队以获胜的概率；
（2）现已知甲队以获胜的概率是，若比赛结果为或，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望.
21. 已知抛物线：的焦点为，准线为，为坐标原点，为抛物线上位于第一象限内一点，直线与交于点，直线与抛物线的另一个交点为.
（1）试判定直线与轴的位置关系，并说明理由；
（2）过点作抛物线的切线交轴于点，与直线交于点，连接.记，的面积分别为，，当时，若点的横坐标为，求抛物线的方程.
22. 已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若函数在处取得极小值，且，证明：.

娄底市2021届高考仿真模拟考试
数学参考答案
一、二、选择题
1-5：ABBCD 6-8：BCA
9. BC 10. ABD 11. CD 12. ABD
1. A 【解析】因为，复数，由复数的实部与虚部相等（是虚数单位），则，解得，故选A.
2. B 【解析】依题意，，即，可知，求得（舍）或.故选B.
3. B 【解析】因为，所以“”“”；
反之，若“”，但“”不一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
4. C 【解析】由题意得，
由于，所以该回归模型拟合的效果比较好，故A，B错误；
在线性回归模型中表示解释变量对于预报变量的贡献率，，则销售量的多少有是由广告支出费用引起的，C正确，D错误.故选C.
5. D 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍后解析式变为，
因为图象关于直线对称，所以，即，
所以当时，取得最小值为，故选D.
6. B 【解析】当温度为时，可逆反应的平衡常数为；当温度为时，可逆反应的平衡常数为；
则，所以，
则，整理得.故选B.
7. C 【解析】根据题意，把3位女生中的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空的2个空中，故有种，故选C.
8. A 【解析】.
∵，∴，∴，∴.故选A.
9. BC 【解析】由，时，得，选项A错误；
由，得，又，所以，选项B正确；
若，则，，，选项C正确；
，令，则，
因为在上单调递增，则，即，选项D错误.故选BC.
10. ABD 【解析】因为为两已知圆的圆心，由几何性质可知，，所以，故选项A正确；
因为，，所以，故选项B正确；
因为，又为锐角，所以，同理可得，所以，则为等边三角形，所以，
，故选项C错误，选项D正确.故选ABD.
11. CD 【解析】显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，
但有3个零点，选项A错误；
函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.故选CD.
12. ABD 【解析】由已知圆柱体的体积为，故选项A正确；
由图可得，，
其中，，故，故选项B正确；
环体体积为.故选项D正确，选项C错误.故选ABD.
三、填空题
13. 【解析】因为，所以.
14. 【解析】设母线长为，所以，∴，
因为与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，
因此圆锥的侧面积为.
15. 【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分，所以，
由，得到，故.
16. 【解析】因为函数在上递减，在上递增，又，
所以，，且，令，则，
所以，，所以，
设函数，，因为在上单调递增，
所以，即，所以的取值范围为.
四、解答题
17.【解析】（1）因为，
当时，，
当时，，符合的情况，
所以，即数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以数列的前项和
.
18.【解析】（1）由，及正弦定理得：
，
又，所以，
因为，所以，
所以，又，可得.
（2）在中，，，则，
则为等腰直角三角形，又，所以，
在直角中，，，，
所以，所以，
所以.

19.【解析】（1）因为底面四边形是正方形，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，平面，平面平面，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，，
以为原点，，，的方向分别作为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，
，，
得，，，
设平面的法向量为，则由，得
，即，
取，得.
易知平面和平面的一个法向量分别为和.
所以，
，
由，得，
解得.

20.【解析】（1）记事件：甲队以获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局，
所以，.
（2）记甲队以获胜为事件，则，解得.
记甲队得分为，则的可能取值有0、1、2、3，
若，则甲队以或落败，
所以；
若，则甲队以落败，
所以；
若，则甲队以获胜，所以；
若，则甲队以或获胜，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：

0
1
2
3

所以.
21.【解析】（1）由题意知，：.
设，，则直线的方程为：，故点的横坐标为.
设直线的方程为：，代入，
得，所以.从而.
从而，所以直线与轴平行.
（2）由题设.
.
因为，所以，即，
又点在直线上，所以，即.
抛物线在点处的切线方程为：，
所以.
将，代入上式得：，
解得（舍），或，得.
故抛物线的方程为.
22.【解析】（1）由已知，
得对恒成立，
令，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
得，
因为，所以，
令，得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，，
即，当，时，的最小值为-1.
（2）依题意，，，
.
当时，令，，
故函数在上单调递增，又，，
据零点存在性定理可知，存在，使得，即，
且当时，，，函数在上单调递减；
当时，，，函数在上单调递增.
所以在处取得极小值，
故当时，存在，使得，即.
又，即，所以.
因为，，所以，即.
因为在上单调递增，且，
因为，所以.