2021-2022学年高中数学-1-空间向量与立体几何-1.4.1-第1课时-空间中点、直线和平面的.doc

2021-2022学年高中数学 1 空间向量与立体几何 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示课后素养落实新人教A版选择性必修第一册

2021-2022学年高中数学 1 空间向量与立体几何 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示课后素养落实新人教A版选择性必修第一册

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课后素养落实(六)　空间中点、直线和平面的向量表示
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　)
A．－1　　　　　　 B．1或－1
C．－3 D．1
A　[由题意知a∥b，则有＝＝，解得x＝－1，故选A．]
2．(多选题)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是(　　)
A．⊥ B．⊥
C．⊥ D．⊥
ABC　[由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．]
3．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：＝＋＋，则(　　)
A．O，A，B，C四点必共面
B．P，A，B，C四点必共面
C．O，P，B，C四点必共面
D．O，P，A，B，C五点必共面
B　[对于空间任一点O和不共线三点A，B，C，若点P满足＝x＋y＋z(x，y，z∈R)且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面．而＝＋＋，其中＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面．故选B．]
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
D　[＝(－1,1,0)＝(－1,0,1)，
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即x＝y＝z，故选D．]
5.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　)

A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
AC　[对于A，由AD⊥平面ABB1A1知＝(0,1,0)是平面ABB1A1的一个法向量，故A正确．
对于B，由BC1⊥平面B1CD知＝＝(0,1,1)是平面B1CD的一个法向量，故B错误．
对于C，由AC1⊥平面B1CD1知＝(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确．
对于D，由DA1⊥平面ABC1D1知＝(0，－1,1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误．综上，选AC．]
二、填空题
6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有________个．

8　[寻找直线AB的方向向量，先找出与直线AB平行或重合的直线，以直线上任意两点分别为起点和终点的向量即为所求．直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个．]
7.如图，在正三棱锥S­ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．

　(答案不唯一)　[在正三棱锥S­ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，∴SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD，∴是平面ABC的一个法向量，是平面SAD的一个法向量．]
8．已知向量b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，若在直线AB上，存在一点E，使得⊥b(O为原点)，则E点的坐标为________．
　[＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，因为⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.]
三、解答题
9．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
[解]　(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，
∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．
(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，AM⊂α，
∴⊥，
∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.
∴x－y＋z＝2.
10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．

[证明]　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，

＝，
＝，＝(－1,0,0)．
∵·＝·
＝－＝0，
·＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量．

1．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A．(1,1,1) B．
C． D．
B　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)，则
∴x＝y＝z又∵单位向量的模为1，故只有B正确．]
2．已知空间三点坐标分别为A(1,1,1)，B(0,3,0)，C(－2，－1,4)，点P(－3，x,3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　)
A．1 B．－2
C．0 D．－1
A　[＝(1，－2,1)，＝(－2，－4,4)，＝(－3，x－3,3)，可设＝y＋z(y，z∈R)，则⇒故选A．]
3．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
2∶3∶(－4)　[由已知得，＝，＝，
∵a是平面α的一个法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
即
解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶
＝2∶3∶(－4)．]
4．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．
　[设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5,6)，
由＝得
∴∴C.]

如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．

[解]　

以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝，＝.
向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
则
即
取x＝2，得y＝－1，z＝1，
故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．