2020-2021学年高中数学-第6章-平面向量及其应用专题训练新人教A版必修第二册.doc

2020-2021学年高中数学 第6章 平面向量及其应用专题训练新人教A版必修第二册

2020-2021学年高中数学 第6章 平面向量及其应用专题训练新人教A版必修第二册

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专题强化训练(一)　平面向量及其应用
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．如图所示，若向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)

A．a＋b－c　　　 B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
C　[＝－＝＋－＝b＋c－a＝b－a＋c.]
2．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)⊥(a－mb)，则m＝(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
B　[因为a＝(1,2)，b＝(－3,0)，
所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)，
由2a＋b与a－mb垂直，
得－1－3m＋8＝0，解得m＝.]
3．已知平面向量a，b夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则|a－2b|＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．
A　[根据条件：a·b＝1××＝，
∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4×＝1，
∴|a－2b|＝1.]
4．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
D　[由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线得a＋mb＝λ(na＋b)，即mn－1＝0.故选D．]
5．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝(　　)
A．5 B．10
C． D．5
D　[由正弦定理得，＝，
∴b＝·10＝×10＝5.]
二、填空题
6．如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，AC与BD交于F，AE＝AD，则·＝________.

－3　[建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，E(0,1)，F，则
·＝·(－3,3)＝×(－3)＋×3＝－3.]
7．已知a＝(1，－2)，b＝(4,2)，设2a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝________.
　[2a＝2(1，－2)＝(2，－4)，
a－b＝(1，－2)－(4,2)＝(－3，－4)，
cos θ＝＝＝.]
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
　[在△ABC中，∵cos A＝＞0，∴sin A＝.
∵cos B＝＞0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
由正弦定理知＝，
∴c＝＝＝.]
三、解答题
9．如图，▱ABCD的两条对角线交于M.且＝a，＝b.

(1)用a，b表示与；
(2)对于平面上任一点O，若＋＋＋＝k，求k的值．
[解]　(1)在▱ABCD中，
＋＝＝a.①
－＝＝b.②
①＋②得2＝a＋b，
①－②得2＝a－b，
所以＝(a＋b)＝a＋b，
＝(a－b)＝a－b.
(2)因为＋＋＋＝k，
所以k＝＋＋＋＋＋＋＋＝4＋(＋)＋(＋)．
由于平行四边形的对角线互相平分，
所以＋＝0，＋＝0，
所以k＝4，所以k＝4.
10.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
[解]　(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2×××cos 30°＝，故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cos α＝4sin α，
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.

11．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若⊥，则||等于(　　)

A．　　　　　 B．2
C．3 D．2
B　[建立平面直角坐标系如图所示，设|AD|＝t(t＞0)，则A(0,0)，C(4，t)，D(0，t)，E(2,0)，
则＝(2，－t)，＝(4，t)，
由⊥得·＝8－t2＝0，
解得t＝2，所以＝(2，－2)，||＝＝2.]
12．(多选题)在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
AB　[由正弦定理及已知，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B．
因为2A,2B∈(0,2π)，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π.
即A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选AB．]
13．(一题两空)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，cos(A－B)＝，则cos C＝______，c＝________.
　6　[由题意知a＞b，∴A＞B．在线段BC上取点D，使得BD＝AD，连接AD，如图所示．

设BD＝x，则AD＝x，DC＝5－x.
在△ADC中，cos∠DAC＝cos(∠BAC－B)＝，
由余弦定理得(5－x)2＝x2＋42－2x·4×，
即25－10x＝16－x，
解得x＝4.
∴在△ADC中，AD＝AC＝4，CD＝1，
由余弦定理的推论，得cos C＝＝，
∴c＝＝＝6.]
14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为ab，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
[解]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，即b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
∵a＋c＝6，b＝2，cos B＝，∴ac＝9.
由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，∵cos B＝，
∴sin B＝＝.
由正弦定理，得sin A＝＝，
∵a＝c，∴A为锐角，∴cos A＝＝.
∴sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.

15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝1，＝2(1－cos C)．
(1)求b的值；
(2)若△ABC的面积为，求c的值．
[解]　(1)∵由已知可得：sin(2A＋B)＝2sin A(1－cos C)，
∴sin[(A＋B)＋A]＝2sin A－2sin Acos C，
可得sin(A＋B)cos A＋cos(A＋B)sin A
＝2sin A＋2sin A cos(A＋B)，
sin(A＋B)cos A－cos(A＋B)sin A＝2sin A，
∴sin B＝2sin A，
由正弦定理得b＝2a，
又a＝1，∴b＝2.
(2)∵S△ABC＝absin C＝×1×2sin C＝，
∴sin C＝，cos C＝±，
当cos C＝时，cos C＝＝＝，
∴c＝；
当cos C＝－时，cos C＝＝＝－，
∴c＝.故c＝或c＝.