2021-2022学年高中数学-第8章-立体几何初步-8.6.3-第2课时-平面与平面垂直的性质定理.docx

2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理巩固练习新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理巩固练习新人教A版必修第二册

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8.6.3　平面与平面垂直
第2课时　平面与平面垂直的性质定理
课后训练巩固提升
1.下列命题正确的是(　　)
A.a∥b,a⊂α⇒α∥b B.a⊥α,b⊥α⇒a∥b
C.a⊥α,a⊥b⇒b∥α D.a∥α,a⊥b⇒b⊥α
答案:B
2.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么(　　)
A.直线a垂直于第二个平面
B.直线b垂直于第一个平面
C.直线a不一定垂直于第二个平面
D.过a的平面必垂直于过b的平面
答案:C
3.在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,BD∩BC=B,△BCD是锐角三角形,则必有(　　)
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BCD
D.平面ABC⊥平面BCD
解析:如图,由AD⊥BC,BD⊥AD,BD∩BC=B,可得AD⊥平面BCD,

∵AD⊂平面ADC,
∴平面ADC⊥平面BCD.
故选C.
答案:C
4.设两个平面α,β,直线l,下列三个条件:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.若以其中两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确命题的个数为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:仅①②⇒③正确.
答案:C
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,下列结论中不正确的是(　　)

A.EF⊥BB1
B.EF∥平面ACC1A1
C.EF⊥BD
D.EF⊥平面BCC1B1
解析:连接A1B,则A1B过点E,且E为A1B的中点,则EF∥A1C1.
又A1C1⊂平面ACC1A1,EF⊄平面ACC1A1,
∴EF∥平面ACC1A1,故B正确;由正方体的几何特征可得B1B⊥平面A1B1C1D1,又A1C1⊂平面A1B1C1D1,
∴B1B⊥A1C1.
由EF∥A1C1可得EF⊥BB1,故A正确;在正方体中,∵AC⊥BD,EF∥A1C1,AC∥A1C1,
∴EF∥AC,则EF⊥BD,故C正确;点E,F∈平面AB1C,
∵∠A1C1B=∠EFB=60°,
∴EF与BC1不垂直,
∴EF⊥平面BCC1B1不成立,故D错误.故选D.
答案:D
6.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=　　　　　. 

解析:取AB的中点E,连接PE.

∵PA=PB,∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,
∴PE⊥平面ABC.
连接CE,则PE⊥CE.
∵∠ABC=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=27,PE=PA2-AE2=6,
CE=BE2+BC2=43,
PC=PE2+CE2=7.
答案:7
7.如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上的动点(点C不与A,B重合),过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点,则下列结论中正确的是　　　　　.(填序号) 

①直线DE∥平面ABC;
②直线DE⊥平面VBC;
③DE⊥VB;
④DE⊥AB.
解析:∵AB是☉O的直径,∴AC⊥BC,
又VC⊥☉O平面,∴VC⊥AC.
又BC∩VC=C,∴AC⊥平面VBC.
又D,E分别为VA,VC的中点,
∴DE∥AC,
∴DE∥平面ABC,①对;
且DE⊥平面VBC,②对;
∴DE⊥VB,③对.
DE与AB所成的角即AC与AB所成的角即为∠CAB<90°,∴DE⊥AB不正确.
答案:①②③
8.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的菱形,∠BCD=60°,点E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.

(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)证明:如图,连接BD,因为底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,所以△BCD是正三角形.

因为点E是CD的中点,所以BE⊥CD.
因为AB∥CD,所以BE⊥AB.
因为PA⊥底面ABCD,BE⊂底面ABCD,所以PA⊥BE.
因为PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB.
因为BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解:因为BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以BE⊥PB.
因为BE⊥AB,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,
所以∠PBA=60°.
所以二面角A-BE-P的大小为60°.
9.如图所示,在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C;
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C,则AM=MA1吗?请叙述你的判断理由.
(1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点,

∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,底面ABC∩平面BB1C1C=BC,
∴AD⊥侧面BB1C1C.
∴AD⊥CC1.
(2)证明:取BC1的中点E,
连接DE,ME,则DE∥CC1,DE12CC1,
∵AM=MA1,M是AA1的中点,
∴MA∥CC1,MA=12CC1.
∴MAED,∴EM∥AD.
由(1)知,AD⊥平面BB1C1C,∴EM⊥平面BB1C1C.
又EM⊂平面BMC1,
∴平面BMC1⊥平面BB1C1C.
(3)解:结论是肯定的.证明如下:过点M作MF⊥BC1于点F,图略.
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C,
∴MF⊥侧面BB1C1C.
又AD⊥侧面BB1C1C,
∴MF∥AD,∴点M,F,D,A共面.
∵AM∥侧面BB1C1C,∴AM∥DF.
∴四边形MADF为平行四边形.∴DF=AM.
∵CC1∥AM,∴DF∥CC1.
∵D是BC的中点,∴F是BC1的中点.
∴AM=DF=12CC1=12AA1,∴AM=MA1.