高二数学复习讲义2.doc

高二数学复习讲义
高二数学复习讲义（2）
——《圆锥曲线与方程》
<知识点>
1．椭圆的性质

2．双曲线的性质

3．抛物线中的常用结论
①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2
③设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)
(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).
b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
(2).a.求弦所在的直线方程
b.根据其它条件求圆锥曲线方程
(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程
(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
5．二次曲线在高考中的应用
二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。
(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。
(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。
(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。
<练习题>
一、填空题
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．
2．(椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆方程为________．
3．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为双曲线上任意一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围为________．
5．若双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
6．设A、B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，OA⊥OB，A点的横坐标是－1，则B点的横坐标为________．
7．已知双曲线的方程是－＝1，则以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是________，抛物线的准线方程是________．
8．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
9．若双曲线＋＝1(k≠0)的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
10．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是________．
11．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则△F1PF2的周长为________．
12．点P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，△PF1F2的内切圆半径为，则当点P在x轴上方时，点P的纵坐标为________．
13．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于AB两点，交准线于点C.若＝2，则直线AB的斜率为________．
14．过原点的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，F1，F2为椭圆的焦点，则四边形AF1BF2的面积的最大值是________．

二、解答题(．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．

16．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点．(1)求△ABF2的周长；(2)若l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．

17．抛物线y＝－与过点M(0，－1)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．

18．已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0,2)，离心率e＝.
(1)求椭圆方程；
(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的中点的横坐标为－，求直线l的倾斜角的取值范围．

19．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

20．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点M，过M作直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)．
(1)求x0的取值范围；
(2)判断△ABE是否是等边三角形．若是，求出x0的值；若不是，请说明理由．

参考答案
一．填空题
1.解析：设抛物线y2＝mx，将点P(2,4)代入抛物线方程，∴m＝8，∴方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
2.解析：由题意知，解得，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
3.解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)．又因为点(5,0)到渐近线y＝±x的距离为4，所以圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0. 答案：x2＋y2－10x＋9＝0
4.解析：设P(x0，y0)，∵|PF1|＝e＝ex0＋a，|PF2|＝e＝ex0－a，又|PF1|＝2|PF2|，∴ex0＋a＝2(ex0－a)，即e＝.∵x0≥a，∴e≤3.又∵e>1，∴11,0)，所以双曲线－＝1的焦点在x轴上，即m>0，n>0，故a＝，b＝，所以c＝.所以e＝ ＝2.①　又＝1，②
由①②得所以mn＝.
答案：
6.解析：据题意可知A(－1，)，故＝(－1，)，
设B(x0，)，故＝(x0，)，
则OA⊥OB⇔·＝0，
即(－1，)·(x0，)＝－x0＋＝0⇒x0＝16.
答案：16
7.解析：由双曲线方程－＝1可知，焦点在x轴上，
a＝2，所以右顶点坐标是(2，0)，
即抛物线的焦点F(2，0)．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．
由＝2得p＝4.
∴所求抛物线方程为y2＝8x，
准线方程为x＝－2.
答案：y2＝8x　x＝－2
8.解析：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则(m－1)2>m2>0.∴m<且m≠0.∴所求实数m的取值范围为(－∞，0)∪. 答案：(－∞，0)∪
9.解析：显然k<0，所以e＝∈(1,2)，解得－1212.解析：△PF1F2的周长l＝2a＋2c＝16，S△PF1F2＝lR＝·2c·y0，∴16×＝6y0，∴y0＝4.
答案：4

13.解析：如图，当倾斜角是锐角时，过B作BG⊥l，则BG＝BF，∴＝.
∴∠GCB＝30°，∴θ＝∠GBC＝60°.
∴k＝.依对称性知k＝－时适合题意．答案：±

14.解析：如图所示，四边形AF1BF2的面积等于S△AF1F2＋S△BF1F2，当点A，B分别与短轴的两个端点重合时，它们的面积最大(F1F2为底)，则四边形AF1BF2的面积的最大值为2××2c×b＝2bc＝8. 答案：8

二．解答题
15.解：设双曲线方程为－＝1a>0，b>0)，
依题意c＝，∴方程可化为－＝1.
由
得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∵＝－，
∴－＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
16．解：(1)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|F1B|)＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝4a＝4×4＝16.
(2)由＋＝1，知F1(－，0)，F2(，0)．
设l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由得25y2－18y－81＝0，
所以|y1－y2|＝ ＝.
所以S△ABF2＝|F1F2|×|y1－y2|
＝××＝.
17.解：法一：如图所示，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－1.
则k＝＝＝－.
由kOA＋kOB＝＋＝1，
又y1＝－，y2＝－，
则有－－＝1，
即－＝1.
于是k＝1，直线l的方程为y＝x－1.

法二：由根与系数的关系，将直线y＝kx－1与抛物线y＝－联立，消去y，得x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系知x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2.
又1＝＋＝＋
＝2k－＝2k－＝k，
则直线l的方程为y＝x－1.
18.解：(1)由题意知2c＝4，所以c＝2，e＝＝，
所以a＝3，b2＝1，
故椭圆方程为＋x2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
代入椭圆方程，得＋x＝1，＋x＝1，
两式相减得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
因为x1≠x2，所以＝－＝k.
设M、N的中点为(x0，y0)，则x0＝－，y0＝.
又(x0，y0)在椭圆内部，即＋2<1，
所以k2>3，即k>，或k<－.
所以直线l的倾斜角的取值范围为∪.
19.解：(1)由已知得直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，
整理，得x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.
则k的取值范围为∪.
(2)不存在．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，得x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)．
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，
故不存在符合题意的常数k.
20.解：(1)∵准线方程为x＝－1，∴点M的坐标为(－1,0)，则设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入y2＝4x得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝1，∴y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝，
即线段AB的中点为.
∵方程①有两个不相等的实根，
∴Δ＝4(k2－2)2－4k4>0，解得－13，∴x0>3.
(2)若△ABE是等边三角形，
则点E到直线AB的距离d为|AB|的.
由d＝，|AB|＝·，
得··＝，
整理得4k2＝3，即k2＝，∴x0＝，
故存在x0＝满足条件．

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