安徽省滁州市定远县重点中学2021届高三数学1月质量检测试题-理.doc

安徽省滁州市定远县重点中学2021届高三数学1月质量检测试题 理

安徽省滁州市定远县重点中学2021届高三数学1月质量检测试题 理

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17

安徽省滁州市定远县重点中学2021届高三数学1月质量检测试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知全集，集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于
A. 4 B. 5 C. 6 D. 12
3. 已知函数的周期为2，当时，，如果，则函数的所有零点之和为    
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 设函数在R上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
5. 函数的图象的大致形状是      
A. B.
C. D.
6. 对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”，设是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是  
A. B. C. D.
7. 设，，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
8. 已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，向量，若，且，则角A，B的大小分别为   ．
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 设单位向量对任意实数都有，则向量的夹角为
A. B. C.   D.
10. 等差数列和的前n项和分别为和，且，则
A. B. C. D.
11. 已知命题在区间上存在单调递减区间；命题q：函数，且有三个实根若为真命题，则实数a的取值范围是  
A. B. C. D.
12. 已知函数，，且在区间，上的最大值为若对任意的，，都有成立，则实数t的最大值是 
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，若关于x的方程在区间内恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______
14. 若函数 在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为_____________．
15. 已知函数，若，且，则的值为__________．
16. 已知数列，，为数列的前n项的和，且对任意，都有，则的通项公式为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
Ⅰ求B的大小；
Ⅱ若，求

18. （12分）已知正项数列的前n项和为，．
求数列的通项公式；
令，数列的前n项和为证明：对于任意的N，都有．

19. （12分）已知函数在区间上有最小1和最大值9，设．
求a，b的值．
若不等式在上有解，求实数k的取值范围．

20. （12分）已知函数．
求函数的单调区间和极值；
是否存在实数a，使得函数在上的最小值为若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

21. （12分）已知函数，其中，且函数的最小正周期为
求的值；
求的单调增区间
若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．

22. （12分）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，万元；当年产量不小于7万件时，万元已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完．
Ⅰ写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；注：年利润年销售收入固定成本流动成本
Ⅱ当年产量为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？取

答案解析
1.C
【解析】，
或；
；
．故选C．
2.A
【解析】解：为奇函数，
，
则，
的图象关于直线对称，
当时，，
对称轴，开口向下，
，，
有两个小于1的实数根，
根据对称性可得两根之和为，
由对称性可得，
在时的图象的对称轴为，
的两根之和为，
的所有根之和为．故选A．
3.D
【解析】解：由题意可得，根据周期性画出函数的图象
以及的图象，
根据在上单调递增函数，当时，，
当时，，此时与函数
无交点．
再根据的图象和的图象都关于直线对称，结合图象可知有8个交点，
则函数的零点个数为 8，故选：D．
4.C
【解析】，，构造函数，
，
函数为奇函数，
时，，
函数在上是减函数，从而在上也是减函数，
又，函数在R上是减函数，
对于任意的实数x，有，
，
等价于，
整理得：，
等价于，
即，
又函数在R上是减函数，
，解得：，故选：C．
5.D
【解析】因为，且，所以根据指数函数的图象和性质，函数为减函数，图象下降；函数是增函数，图象逐渐上升，
故选D．
6.A
解：因为是定义在上的“倒戈函数”，
所以存在满足，所以，
所以，
构造函数，，令，
，所以所以．
故答案为  ．
7.A
【解析】
，
，即，
，
，
故选A．
8.C
【解析】根据题意，，
可得， 
即， 
在中，
， 
又由正弦定理可得，， 
， 
，
 故选C．
9.D
【解析】是单位向量，设的夹角为；
对两边平方得，；
整理得，，该不等式对任意实数恒成立；
；
；
；
又；
．故选：D．
10.D
【解析】等差数列n和n的前n项和分别为Sn和Tn．
．故选D．
11.A
【解析】，
，
在上单调递增，
在上的最小值为，
若在上存在单调减区间，则，即，
真时，等价于，真等价于；
函数，，
等价于，
令，则，
在上，在上，在上，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，的极小值为，
又，
当x趋近于时，趋近于，分母是指数增长方式，分子式幂函数增长方式，
幂函数的增长在一定的值以后远不如指数的增长快，
当x趋近于负无穷时趋近于0，
显然当x趋近于时，趋近于，
 有三个实根，即有三个不等实根，
即直线和函数的图象有三个不同的公共点，
，即q正确等价于，
若为真命题，即a的取值范围是，
故选A．
12.A
【解析】由，可知为函数图象对称轴，
即，
解得．
因为，则，
又，则，
根据题意在区间，上的最大值为，
故有，即，
，
若对任意的，，都有成立，
即．
则，
当时，，
由正弦函数图象可得必须，
解得．
故实数t的最大值是．故选A．
13.
【解析】对于任意的，都有，
，
函数是一个周期函数，且．
又当时，，且函数是定义在R上的偶函数，
若在区间内关于x的方程恰有5个不同的实数解，
则函数与在区间上有五个不同的交点，如下图所示：

又，
则对于函数，
由题意可得，当时的函数值小于1，
即，
由此解得：  
的范围是
故答案为：．
14.
【解析】解：当时，，单调递增，
，，
由零点存在定理，可得在有且只有一个零点；
则由题意可得时，有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根． 

令，，
当时，，递减；
当时，，递增．
即有处取得极大值，也为最大值，且为，
如图的图象，当直线与的图象
只有一个交点时，则．
故答案为．
15.

【解析】
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案是．
16.
解：数列，，为数列的前n项的和，且对任意，都有，则，
整理得常数，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
则，故．
当时，首项不符合通项
故．
故答案为：
17.由正弦定理得，，，，
，
即，

，
为三角形的内角，，
，
为三角形的内角，
；
由余弦定理得，，
得，
因为，，，
，
，
．
18.解：当时，，，两式相减得，
从而数列是以2为公差的等差数列，又，得，从而．
证明：由得，
所以，
又，从而对于任意N，都有．
19. 解：函数
则对称轴，
故函数在上为单调增函数，
所以当 时，，当 时，，

解之得
故a的值为1，b的值为
由得，
，
因为不等式在上有解，
所以在上有解，
设，
所以在上有解，
即
设，
对称轴，则当时，，
所以实数k的取值范围是．

20.解：由题意知，．
由得，解得，
所以函数的单调增区间是；
由得，解得，
所以函数的单调减区间是
所以当时，
函数有极小值为，无极大值．
由可知，当时，单调递减，
当时，单调递增，
若，即时，函数在上为增函数，
故函数的最小值为 ，显然，故不满足条件．
若，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，
故函数的最小值为  ，即ln ，解得，
而，故不满足条件．
若，即时，函数在上为减函数，
故函数的最小值为 ．
即，而，故不满足条件．
综上所述，这样的a不存在．

21.解：

，
，

由，，
解得：，，
可得的单调增区间为：，，
作出函数在上的图象如图：

函数有两个零点，即方程有两解，亦即曲线与在上有两个交点，
从图象可看出，，
所以当曲线与在上有两个交点时，
则，即实数a的取值范围是．
22.解：每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．
依题意得：当时，

当时，

．
．
当时，
，
当时，取得最大值万元，
当时，，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取得最大值万元，
，
时，取得最大值11，2万元，
故当年产量约为16万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元．