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高等数学（一）教案 期末总复习高等数学下册习题常见类型题型1 求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积题型2 由已知条件求平面与直线方程题型3 计算一阶偏导数及高阶偏导数题型4 求多元复合函数的偏导数题型5 求方程所确定的隐函数的偏导数题型6 求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面 题型7 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值 题型8 利用直角坐标计算二重积分 题型9 利用极坐标计算二重积分 题型10 计算带绝对值的二重积分 题型11 利用二重积分证明恒等式 题型12 利用对称性质计算二重积分题型13 只有一种积分次序可计算的积分例1、 求解：（将二次积分交换顺序）题型14 利用投影法计算三重积分 题型15 利用柱坐标计算三重积分 题型16 利用球坐标计算三重积分 题型17 利用切片法计算三重积分 题型18 利用三重积分计算立体的体积 题型19 计算对弧长的曲线积分 题型20 计算对面积的曲面积分 题型21 计算对坐标的曲线积分题型22 利用格林公式计算对坐标的曲线积分题型23 曲线积分与路径无关及全微分求积题型24 计算对坐标的曲面积分题型25 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分题型26 可分离变量的微分方程、齐次方程题型27一阶线性微分方程题型29 可降阶方程题型30二阶常系数非齐次线性方程第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作或 模向量的模记作和差 单位向量，则方向余弦设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为点乘（数量积）， 为向量a与b的夹角叉乘（向量积） 为向量a与b的夹角向量与，都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的投影 平面直线法向量 点方向向量 点方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离 面面距离 面面夹角线线夹角线面夹角 空间曲线：切向量切“线”方程：法平“面”方程：切向量切“线”方程：法平“面”方程：空间曲面：法向量切平“面”方程：法“线“方程：或切平“面”方程：法“线“方程：第十章 重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分平面薄片的质量质量=面密度面积（1） 利用直角坐标系X型 Y型 P141例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ) P147例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）P141例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离3 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度面积(1) 利用直角坐标投影P159例1 P160例2（2） 利用柱面坐标 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如P161例3（3）利用球面坐标 适用范围:积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，P16510-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（转化为定积分）（1） （2） （3）P189-例1P1903平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1） 参数法（转化为定积分）P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） P，Q具有一阶连续偏导数结论：应用：P205例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件： 与路径无关，与起点、终点有关具有原函数（特殊路径法，偏积分法，凑微分法） P211-例5、例6、例7（4）两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：L封闭，分段光滑，有向 P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：应用：P240-例1第一类曲面积分曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法： 投影到面类似的还有投影到面和面的公式P217-例1、例2第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量（1）投影法：，为的法向量与轴的夹角前侧取“+”，；后侧取“”，：，为的法向量与轴的夹角右侧取“+”，；左侧取“”，：，为的法向量与轴的夹角上侧取“+”， ；下侧取“”，P226-例2（2）高斯公式 右手法则取定的侧条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论： 应用：P231-例1、例2（3）两类曲面积分之间的联系转换投影法：P228-例3所有类型的积分：定义：四步法分割、代替、求和、取极限；性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十章 级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. 若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.（必要条件） 如果级数收敛, 则莱布尼茨判别法若且，则收敛则级数收敛.和都是正项级数，且.若收敛，则也收敛；若发散，则也发散.比较判别法比较判别法的极限形式和都是正项级数，且，则若,与同敛或同散;若,收敛,也收敛；如果，发散，也发散。比值判别法根值判别法是正项级数，,则时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数,缺项级数用比值审敛法求收敛半径的性质在收敛域上连续;在收敛域内可导，且可逐项求导;和函数在收敛域上可积分，且可逐项积分.(不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 收敛定理 是连续点,收敛于;是间断点,收敛于周期延拓为奇函数，正弦级数，奇延拓；为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错级数- 9 -