数列通项公式的求法(经典).doc

数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
解：设数列公差为
∵成等比数列，∴，即
∵， ∴………………………………①
∵ ∴…………②
由①②得：， ∴】
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.
二、公式法
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.
例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.
解：由
当时，有

……，

经验证也满足上式，所以
点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.
类型1 递推公式为
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解.
例3. 已知数列满足，，求.
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以 ，
类型2
（1）递推公式为
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解.
例4. 已知数列满足，，求.
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，
注：由和确定的递推数列的通项还可以如下求得：
所以， ，，依次向前代入，得
，
类型3
递推式：
解法：只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式
①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）.
解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
例5. 已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则, 所以.
②为一次多项式，即递推公式为
例6．设数列求.
解：设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故代入（１）得
备注：本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.
③ 为的二次式，则可设;
类型4
递推公式为（其中p，q均为常数，）. （或,其中p，q, r均为常数）
解法：该类型较类型3要复杂一些.一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：
引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决.
例7. 已知数列中，,，求.
解：在两边乘以得：
令，则,应用例7解法得：
所以
类型5
递推公式为（其中p，q均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解.
例8. 已知数列中，,,，求.
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以.
1．在数列中，，，求.
　 ∵，
　　　　　当时，
　　　　　， 
　　　　　，
　　　　　，

　　　　　将上面个式子相加得到：

　　　　　∴（），
　　　　　当时，符合上式
　　　　　故.
2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.

　　 由题意
　　　　　∴
　　　　　∵，∴，
　　　　　∴，　 
　　　　　∴，又，
　　　　　∴当时，，
　　　　　当时，符合上式
【变式2】已知数列中，，，求通项公式.

　　 由得，∴ ，
　　　　　　 ∴，
　　　　　 　∴当时，

　　　　　　当时，符合上式
　　　　　　∴
3．数列中，,，求.

　　 对两边同除以得即可.
∵，∴两边同除以得，
　　　　　∴成等差数列，公差为d=5，首项，
　　　　　∴，
　　　　　∴.
4．已知数列中，，，求.

　　法一：设，解得
　　　　　即原式化为
　　　　　设，则数列为等比数列，且
　　　　　∴
　　法二：∵　 ①
　　　　　　 ②
　　　　　由①－②得：
　　　　　设，则数列为等比数列
　　　　　∴
　　　　　∴
　　　　　∴
　　法三：，，，……，
　　　　　，
　　　　　∴
【变式1】已知数列中，，求

　　【答案】令，则，
　　　　　　∴，即
　　　　　　∴，
　　　　　　∴为等比数列，且首项为，公比，
　　　　　　∴，
　　　　　　故.

　　【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.

　　【答案】∵，∴
　　　　　　设，则，即，
　　　　　　∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
　　　　　　∴，∴.
　　　　 　 ∴.
5．已知数列中，是它的前n项和，并且, .
　　(1)设,求证：数列是等比数列；
　　(2)设，求证：数列是等差数列；
　　(3)求数列的通项公式及前n项和.

　　解析：
　　（1）因为，所以
　　 　　以上两式等号两边分别相减，得

　 　　　即，变形得
　　 　　因为 ，所以 
　　 　　由此可知，数列是公比为2的等比数列.
　　 　　由,, 
　　 　　所以, 所以,
　　 　　所以.
　　（2） ，所以　　
　　 　　将 代入得 
　　 　　由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，
　　 　　故.
　　（3），所以 　
　　 　　当n≥2时，
　　 　　∴
　　 　　由于也适合此公式，
　　 　　故所求的前n项和公式是.

【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.
　　（1）求证：数列是等比数列；
　　（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.
　　【答案】
　　（1），
　　 　　∴
　　 　　∴， 
　　 　　又
　　 　　①－②
　　 　　∴，
　　 　　∴是一个首项为1公比为的等比数列； 
　　（2）
　　 　　∴
　　 　　∴是一个首项为1公比为的等差比数列 
　　 　　∴

【变式2】若, 　()，求.

　　【答案】当n≥2时，将代入,
　　 　　　　∴,
　　 　　　　整理得
　　 　　　　两边同除以得 （常数）
　 　　　　　∴是以为首项，公差d=2的等差数列，
　 　　　　　∴ ，　　　 
　 　　　　　∴.

　　【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.

　　【答案】∵为等差数列，公差设为,
　 　　　　　∴,
　　 　　　　∴, 　　
　　 　　　　∴,
　 　　　　　若，则,　 ∴.
　　 　　　　∵，　 
　　 　　　　∴,∴ ,
　　 　　　　∴,
　　 　　　　∴ 　①
　 　　　　　　　　　　　　 ②
　 　　　　　①-②得

　　 　　　　∴
1．（2008四川）设数列的前项和为.
　　（Ⅰ）求；
　　（Ⅱ）证明：是等比数列；
　　（Ⅲ）求的通项公式.

　　解析：
　　（Ⅰ）因为，
　　　　　∴
　　　　　由知，得　 ①
　　　　　所以，
　　　　　，
　　　　　∴
　　（Ⅱ）由题设和①式知
　　　　　所以是首项为2，公比为2的等比数列.
　　（Ⅲ）

　　2．（2008全国II）设数列的前项和为．已知，，．
　　（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
　　（Ⅱ）若，，求的取值范围．

　　解析：
　　（Ⅰ）依题意，，即，
　　　　　由此得．
　　　　　因此，所求通项公式为，．①
　　（Ⅱ）由①知，，
　　　　　于是，当时，
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　当时，．
　　　　　又．
　　　　　综上，所求的的取值范围是．

　　3．（2008天津）已知数列中，，，且．
　　（Ⅰ）设，证明是等比数列；
　　（Ⅱ）求数列的通项公式；
　　（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

　　解析：
　　（Ⅰ）由题设，得，
　　　　　即．
　　　　　又，，
　　　　　所以是首项为1，公比为的等比数列．
　　（Ⅱ）由（Ⅰ），，，……，．
　　　　　将以上各式相加，得．
　　　　　所以当时，
　　　　　上式对显然成立．
　　（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
　　　　　由可得，
　　　　　由得　　 ①
　　　　　整理得，
　　　　　解得或（舍去），于是．
　　　　　另一方面，，
　　　　　．
　　　　　由①可得．
　　　　　所以对任意的，是与的等差中项．

4．（2008陕西）已知数列的首项，，．
　　（Ⅰ）求的通项公式；
　　（Ⅱ）证明：对任意的，，；
　　（Ⅲ）证明：．
　　解析：
　　（Ⅰ），，，
　　　　　又，是以为首项，为公比的等比数列．
　　　　　，．
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

　　　　　，
　　　　　原不等式成立．
　　另解：设，
　　　　　则
　　　　　，当时，；当时，，
　　　　　当时，取得最大值．
　　　　　原不等式成立．
　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

　　　　　． 
　　　　　令，则，
　　　　　．
　　　　　原不等式成立．
　5．已知数列中，, ()，求通项公式.
　　解析：将递推关系整理为 
　　　 　 两边同除以得
　　　 　 当时，
　　 　 　，，……，
　　 　 　将上面个式子相加得到：
　　　 　 ，即， 
　　 　 　∴（）.
　　　 　 当时，符合上式
　　　 　 故.
　7．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，，求的通项公式. 
　　解析：由，解得或，
　　 　 　由假设，因此，
　　 　 　又由，
　　 　 　得，即或，
　　 　 　因，故不成立，舍去．
　　 　 　因此，从而是公差为，首项为的等差数列，
　　 　 　故的通项为．

　　8．设数列满足，．
　　（Ⅰ）求数列的通项；
　　（Ⅱ）设，求数列的前项和．
　　解析：
　　（Ⅰ），　　　　　　　　　 ①
　　 　 　∴当时，　　 ②
　　 　 　①-②得，．
　　 　 　在①中，令，得符合上式
　　 　 　∴．
　　（Ⅱ），∴．
　　 　 　，　　　　③
　　 　 　．　　 ④
　　 　 　④-③得．
　　 　 　即，．

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