5.角的平分线的性质(提高)知识讲解.doc

角的平分线的性质（提高）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】
类型一、角的平分线的性质及判定

1、已知：如图，在中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AE＝AF．

【答案与解析】
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
（垂直定义）
在和中
∴≌（HL）
∴
【总结升华】先由角平分线的性质得出DE＝DF，再证≌，即可得出AE＝AF.分析已知，寻找条件，顺次证明．
举一反三：
【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.
求证：BE＝CF.

【答案】
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE与Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE＝CF
2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（ ）
A.11 B.5.5 C.7 D.3.5

【答案】 B；
【解析】
解： 过D点作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF＝DH
在Rt△EDF和Rt△GDH中
DE＝DG，DF＝DH
∴Rt△EDF≌Rt△GDH
同理可证Rt△ADF和Rt△ADH
∴
∴＝50－39＝11，
∴△EDF的面积为5.5
【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积来表示△EDF面积.
【高清课堂：388612 角平分线的性质，例6】
3、如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．

【思路点拨】观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.
【答案与解析】
证明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N
，，且
∴
又∵AC＝BD
∴PM＝PN
又∵PM⊥OA，PN⊥OB
∴OP平分∠AOB

【总结升华】跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.
类型二、角的平分线的性质综合应用
4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证PB＋PC≥AB＋AC.

【思路点拨】在BA的延长线上取AD＝AC，证△PAD≌△PAC，从而将四条线段转化到同一个△PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：①当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连接PD.
∵P为△ABC的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2
∵在△PAD和△PAC中

∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC
∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD
∴PB＋PC＞AB＋AC.
②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.
综上，PB＋PC≥AB＋AC.
【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.
举一反三：
【变式】如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.

【答案】
证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵AF＝AB  AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠B＝∠AFE，
由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，
∴∠AFE＋∠C＝180°，
又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，
∴∠C＝∠DFE，
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠3＝∠4，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE，
∴DF＝DC，
∵AD＝DF＋AF，
∴AD＝AB＋DC．