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初三数学几何综合练习题
1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.
（1）如图1，点D在BC边上.
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系
（直接写出结论）.

图2
图1

2.已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．
（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；
（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

图1 图2 图3

3．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.
(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
(2) 若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.
①如图2，当α=30°时，连接．证明：=；
　　②如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？

图1

图2
图3

4．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40°，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数量关系；
图1
图2
图3

（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋，与CD边交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM，CN，MN的数量关系是　　；
（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN的面积最小值为　　．

5.已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点.
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.

6．△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．

图2
图1

（1）如图1，当∠BAC为锐角时，
①求证：BE⊥AC；
②求∠BEH的度数；
（2）当∠BAC为钝角时，
请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．

7．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.
（1）如果∠ACB=90°，
①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；
②如图2，当点P不与点A重合时，求的值；
（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出的值.（用含a的式子表示）
图2
图1
图3

8．在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；

备用图
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．

9．在等边△ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线
于点E．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；
（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.
图1
图2

11．在△中，．
（1）如图1，直线是的垂直平分线，请在图1中画出点关于直线的对称点，连接，，与交于点；
（2）将图1中的直线沿着方向平移，与直线交于点，与直线交于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
①如图2，若点在线段上，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明；
②若点在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系．

图1 图2 备用图

12．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：_____
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2 图3

北京各区2015数学一模答案
1..解：（1）①补全图形，如图1所示.………………………1分
②由题意可知AD=DE，∠ADE=90°.
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90°.
图1
∴∠ADF=∠EDB.……………………………………2分
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠DFB=90°.
∴DB=DF.
∴△ADF≌△EDB……………………………………3分
∴AF=EB.
在△ABC和△DFB中，
∵AC=8，DF=3，
∴AC=，DF=.………………………………………………………………4分
AF=AB－BF=
即BE=.…………………………………………………………………………5分
（2）BD=BE+AB.……………………………………………………………………7分

2.解:(1)当时,. ------------1分
（2）补全图形如图1，
仍然成立；------------3分
（3）猜想仍然成立.
图1
证明：作，，垂足分别为点，如图2，则.
∵，
∴.
∵，
∴，.
∴.
图2
在和中，

∴.
∴.
在和中，

∴.
∴.
∵，
∴为等腰三角形.
∴------------7分
3图1
．解：（1）补全图形，如图1所示；……1分

证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD
∴EB=ED
又∵ED=BD
∴EB=ED=BD

∴△EBD是等边三角形………………2分

图2
（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC
又∵点C与点F关于BD对称
∴四边形BCDF为正方形，
∴∠FDC=90°,
∵
∴
由（1）△BDE为等边三角形
∴,ED=BD
∴…………………3分
又∵旋转得到的
图3（1）
∴
∴
∴…………………………4分

②线段PM的取值范围是：
设射线CA交BD于点O，
图3（2）
I：如图3（1）
当，D、M、P、C共线时，PM有最小值.
此时DP=DO=，DM=1
∴PM=DP-DM=………………………5分
II：如图3（2）
当点P与点重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值.
此时DP=DE′=DE=DB=，DM=1
∴PM= DP+DM=………………………6分
∴线段PM的取值范围是：

………………7分
4．解：（1）
………………………………………………………1
延长DA到点E，使AE=CN，连接BE
∵∠BAD+∠C=180°．
∴∠EAB=∠C．
又∵AB=BC，AE=CN，
∴△ABE≌△CBN．
∴∠EBA=∠CBN，BE=BN．…………………………………………………………2
∴∠EBN=∠ABC．
∵∠ABC=80°，∠MBN=40°，
∴∠EBM=∠NBM=40°．
∵BM=BM，
∴△EBM≌△NBM．
∴EM=NM．…………………………………………………………………………3
∴MN=AM+CN．……………………………………………………………………4
（2）
……………………………………………………5
MN5分
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠AEQ=∠D，
在△AQE和△BQD中
，图3
-----------6分
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
-----------7分
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
说明：第三问画出图形给1分

6．（1）①证明：∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH＝BH，∠BAH＝45°，
∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，
图1－1
由旋转性质得，△BHD≌△AHC，
∴∠1＝∠2．………………………1分
∵∠1＋∠C＝90°，
∴∠2＋∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC．………………………2分
②解法一：如图1－1，
∵∠AHB＝∠AEB＝90°，
∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，………………………3分
∴∠BEH＝∠BAH＝45°．………………………4分
解法二：如图1－2，
过点H作HF⊥HE交BE于F点，∴∠FHE＝90°，
即∠4＋∠5＝90°．
又∵∠3＋∠5＝∠AHB＝90°，
∴∠3＝∠4．
在△AHE和△BHF中，
图1－2

∴△AHE≌△BHF，………………………3分
∴EH＝FH．
∵∠FHE＝90°，∴△FHE是等腰直角三角形，
∴∠BEH＝45°．………………………4分

（2）补全图2如图；………………………5分
图2－2
EC－ED＝EH．………………………7分

7.（1）
①作图.…….1分
（或）.…….2分
②过点P作∥交于点，交于点，.…….3分
∴．∵∠CPE=∠CAB，
∴∠CPE=∠CPN．∴∠CPE=∠FPN．
∵，∴∠PFC=∠PFN=90°．
∵PF=PF，∴≌．∴．.…….4分
由①得：≌．∴．∴．.…….5分
（2）．.…….7分
8. (本小题满分7分)
（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分

图1 图2
（2）方法一：
证明：连接BE，如图2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴．……………………………………………………………2分
．
由菱形的对称性可知，
，
．……………………………………………………………………3分
．
．
，
．…………………………………………………………4分
．
在与中，

∴≌．
．………………………………………………………………………………5分
方法二
证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴．………………………2分
．
由菱形的对称性可知，
，．
……………………………………………3分
，图3
．………………………………………………4分
．
在与中，

∴≌．
．………………………………………………………………………………5分
（3）． …………………………………………………………………7分
9．解：（1）补全图形，如图1所示. ……………………………1分
（2）连接AD，如图2.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP = ∠BAP=30°.
∵AB=AC, ∠BAC=60°.∴AD=AC, ∠DAC=120°.
图1
图2
∴2∠ACE+60°+60°=180°∴∠ACE=30°……………………………3分

（3）线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.…………………………… 4分
证明：连接AD，EB，如图3.
∵点D与点B关于直线AP对称，
图3
∴AD=AB，DE=BE，
可证得∠EDA= ∠EBA.
∵AB=AC,AB=AD.
∴AD=AC, ∴∠ADE= ∠ACE.
∴∠ABE= ∠ACE.设AC，BE交于点F,
又∵∠AFB= ∠CFE.∴∠BAC= ∠BEC=60°.
∴线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.………7分

11．解：（1）正确画出图形．……………1分
（2）①．……………2分
证明：过点作⊥于点．……3分
∵⊥于点，，⊥，
∴四边形为矩形．
图1
∴，∥．

∴．……………4分
由（1）和平移可知，
∠==∠，
∠=．
∴∠=∠=90°．
图2
∵，
∴△≌△．
图3
G
∴．………………………5分
∴．
即．……………6分

②．………………7分

12.  
（2）结论：成立.………………………..(1分)
（3）结论：成立. ………………………..(2分)
证明：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，……………..(3分) 
∵四边形ABCD为菱形， 
∴AB=BC， 
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形， 
∴AB=AC，∠ACB=60°， …………………………..(4分)
又∵EG∥BC， 
∴∠AGE=∠ABC=60°， 
又∵∠BAC=60°， 
∴△AGE是等边三角形， 
∴AG=AE=GE ， 
∴BG=CE， …………………………..(5分)
又∵CF=AE， 
∴GE=CF， ………………………………………..(6分)
又∵∠BGE=∠ECF=60°， 
∴△BGE≌△ECF（SAS）， 
∴BE=EF． ………………………………………..(7分)