L-双拓扑空间中的配良紧性_薛雨佳.pdf

收稿日期:2022 11 16;修订日期:2022 12 19作者简介:薛雨佳(1997)，女，硕士研究生，研究方向:格上拓扑学与模糊数学。基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(2018JM1042)。*通信作者:王小霞，副教授，硕士生导师。E mail:yd wxx163 com。第 41 卷第 1 期2023 年 2 月江西科学JIANGXISCIENCEVol 41 No 1Feb 2023doi:1013990/j issn1001 3679 202301004L 双拓扑空间中的配良紧性薛雨佳，王小霞*，何琼(延安大学数学与计算机科学学院，716000，陕西，延安)摘要:在 L 双拓扑空间中给出了配良紧集的概念，研究了它们的等价刻画和基本性质，证明了配良紧性是弱拓扑不变性和对双闭子集具有遗传性。关键词:L 双拓扑空间;远域族;配良紧性中图分类号:O189 4文献标识码:A文章编号:1001 3679(2023)01 016 04Pairwise N Compactness in L Bitopological SpacesXUE Yujia，WANG Xiaoxia*，HE Qiong(School of Mathematics and Computer Science，Yanan University，716000，Yanan，Shaanxi，PC)Abstract:In this paper，we give the concept of pairwise N compact sets in L bitopologicalspaces，study their equivalent characterizations and basic properties，and prove that pairwise N compactness are weakly topological properties and hereditary with respect to biclosed subsetsKey words:L bitopological space;romote neighborhood family;pairwise N compactness0引言良紧性是模糊拓扑学研究的重要性质之一。1986 年，文献 1在 LF 拓扑空间中，就 L=0，1引入了良紧性理论;文献 2 3 在 LF 拓扑空间中定义了几乎良紧集和 良紧集的概念，研究了其基本性质;文献 4 在 L 预拓扑空间中定义了良紧集，讨论了其等价刻画和基本性质;自从文献 5 引入双拓扑空间概念，得到了一系列有意义的结果6 9。本文在 L 双拓扑空间中定义了配良紧集及配良紧空间的概念，给出它们的等价刻画并研究了其基本性质。文中，L 表示 F 格，即具有逆序对合对应的完全分配格，X 是非空分明集，J1与 J2是 X 上的 2个分明拓扑，则称(X，J1，J2)为(分明)双拓扑空间，简称 bts。LX表示 X 上的全体 L 集，LX中的最小元和最大元分别记作0X和1X。设 1和 2都是 LX上 L 拓扑，则称(LX，1，2)为 L 双拓扑空间，简称 L bts。M(L)表示 L 中的全体分子之集，W表示 W 的特征函数，Copr(L)表示 L 中非0 的余素元全体，pr(L)表示 L 中非 1 的素元全体，()为 的极小集，*()=(a)Copr(L)。其他未加说明的记号和术语均见参考文献。1预备知识定义11:设(LX，)是 LF 拓扑空间，A LX，M(L)。如果 xA，有 P 使 P (x)，则称 为 A 的 远域族。定义 21:设(LX，)是 LF 拓扑空间，A LX，如果对 A 的任一 远域族 ，有 =2()使 构成 A 的 远域族，则称 A 良紧集。当最大的 LF 集1 是良紧集时，称(LX，)为良紧空间。定义31:设(LX，)是 LF 拓扑空间，r 是 L 中的素元且 r 1，如果 x X 有 U ，使得 U(x)r，则 为(LX，)的 r 复盖。设*(r)是 r 的由异于 1 的素元组成的极大集，如果 sa*(r)使得 是 s 复盖，则 为 r+复盖。定义 41:设(LX，)是 LF 拓扑空间，S=S(n)，nD是 LX中的分子网，设 M(L)，如果对 r *(a)，n0 D，当 n n0时有V(S(n)r，则称分子网 S 为 网，其中V(S(n)表示分子 S(n)的高。定义 51:设(LX，)是 LF 拓扑空间，e M*(LX)，S=S(n)，n D是 LX中的分子网，如果 P (e)，S 经常不在 P 中，则称 e 为 S的聚点。定义 61:设(LX，)和(LY，)都是 L 拓扑空间，若 f:(LX，)(LY，)是单满的 L 值Zadeh 函数，并且使得 f 和 f都连续，则称 f 为强同胚映射，被强同胚映射所保持的性质称为弱同胚不变性质。2L 双拓扑空间中配良紧性的概念和等价刻画定义 7:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，M(L)，如果对 A 的任一 1远域族 ，有 2()，使 构成 A 的 2远域族，则称 A 为(LX，1，2)中的(1，2)弱配良紧集，若 A 既是(1，2)中的弱配良紧集，又是(2，1)中的弱配良紧集，则称 A 为配良紧集。当 LX中的最大元1X是(LX，1，2)中的配良紧集时，则称(LX，1，2)为配良紧空间。定理1:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，若A 是配良紧集则对 M(L)，A 中的 网在A 中有一高度等于 的聚点。证明:设 A 是配良紧集，S=S(n)，n D是 A 中的 网，假设 S 在 A 中没有高度等于 的聚点。则对 x A 有 P(x)1(x)，即n(x)D 使当 nn(x)时 S(n)P(x)，令=P(x)|xA，则 是 A 的 1远域族，因为 A 是配良紧集，有有限子族 =P(xi)|i=1，k使 构成 A 的 2远域族，即 r*()使得对 yrA 有 i k 使 yrP(xi)。令 P=Ki=1P(xi)，则对 yr A 有 yr P，即yrA，r P(y)(1)因为 D 是定向集，n0D 使 n0n(xi)(i=1，k)，那么当 n n0时 S(n)P(xi)(i=1，k)，从而当 n n0时 S(n)P，即n n0S(n)P。(2)由式(1)、式(2)及 S(n)A 得，当 n n0时V(S(n)r。这与 S 在 A 中的 网概念矛盾，因此 S 在 A 中至少有一高度等于 的聚点。定义 8:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，M(L)，如果 A 既为(LX，1)中的良紧集，又为(LX，2)中的良紧集，则称 A 为(LX，1，2)中的双良紧集。当 A=1X是(LX，1，2)中的双良紧集，称(LX，1，2)是双良紧空间。定理 2:设(LX，1，2)是 L bts，若 A 是配良紧集，则 A 是双良紧集。证明:设 M(L)，任取 A 的 1远域族 ，由于 A 是配良紧集，所以 的有限子族*构成 A 的 2远域族，而对于 A 的 2远域族 而言，又 的有限子族*构成 A 的 1远域族。而显然*是 的有限子族，故A 是(LX，1)中的良紧集。同理可证 A 是(LX，2)中的良紧集，故 A 是(LX，1，2)中的双良紧集。推论 1:设(LX，1，2)是配良紧空间，则(LX，1)和(LX，2)都是良紧空间。定理 3:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，r pr(L)，A 是配良紧集当且仅当 A 的每个 r 1复盖 u1有有限子族 v1使 v1是 A 的 r+2复盖，每个 r 2复盖 u2都有有限子族 v2使 v2是 A的 r+1复盖。证明:必要性。设 A 是配良紧集，u1是 LX的r 1复盖，r pr(L)且 r 1，令 =u1，则 是 1 闭集族，且 xX，有 P=U，使得U(x)r，即 rP(x)。因为 rpr(L)，于是由 xr P 知 P 1(xr)，即 为 A 的 r 1远域族。因为 A 是配良紧集，u1有有限子族 v1，使得 =(v1)构成 A 的(r)2远域族，即 s*(r)，使 x X，有 V v1使 s V(x)，即s*(r)使 xX，有 Vv1使 V(x)71第 1 期薛雨佳等:L 双拓扑空间中的配良紧性s，因此 u1有有限子族 v1使 v1是 A 的 r+2复盖。同理可证对于 A 中每个 r 2复盖都有有限子族构成 A 的 r+1复盖。充分性。设 M(L)，是 A 的 1远域族。令 u1=，r=，则由 是分子知 r pr(L)，易证 u1是 A 的 r 1复盖，因此 u1有有限子族 v1构成 A 的 r+2复盖。令 =v1，则 是 的有限子族，易证 是 A 的 2远域族。同理可证 A 的任一 2远域族都有有限子族构成 A 的 1远域族，所以 A 是配良紧集。3L 双拓扑空间中配良紧集的主要性质定理 4:设(LX，1，2)是 L bts，A LX，M(L)，B 1 2，则1)若 A 是(1，2)弱配良紧的，则 A B 也是(1，2)弱配良紧的;2)若 A 是配良紧的，则 AB 也是配良紧的。证明:1)设 是 AB 的任一 1远域族，令 =B为 A 的 1远域族，因为 A 是(1，2)弱配良紧的，所以 的有限子族*，使*为 A 的 2远域族，令 =*/B，则 *，由此可得 为 的有限子族，因此 可以构成 A 的 2远域族，故 A B 是(LX，1，2)中的弱配良紧集。2)同理可证。推论2:L 双拓扑空间的配良紧性对双闭子集遗传。定义 9:设(LX，1，2)和(LY，1，2)是 L bts，且 f:LXLY是映射，若 f:(LX，1)(LY，1)与 f:(LX，2)(LY，2)都是强同胚映射，则称映射 f:(LX，1，2)(LY，1，2)为双强同胚映射。类似地可以定义双连续映射、双闭映射等概念。定理 5:设(LX，1，2)与(LY，1，2)是 2 个L bts，f:(LX，1，2)(LY，1，2)是满的、双连续的、双闭的 L 值 Zadeh 型函数，那么当 A 是(LX，1，2)中的配良紧集时，f(A)是(LY，1，2)中的配良紧集。证明:设 A 是配良紧集，M(L)，是f(A)的 1远域族，则对 x A，f(x)=(f(x)是 f(A)中高为 的分子，所以 中有 1 闭集 P 使(f(x)P 或 P(f(x)，即 f1(P)(x)或 x f1(P)。因为 f 双连续，所以 f1(P)是(LX，1，2)中 1 闭 集，因 此f1(P)1(x)，从而 f1()是 A 的 1远域族。由 A 的配良紧性知 有有限子族 =P1，P2，Pn)使 f1()是 A 的 2远域族。以下只需证明 就是 f(A)的 2远域族，由 f 是满的双闭映射知 Pi=f(f1(Pi)，i=1，n 都是 2 闭集，为此又只需证明 s*()使对 f(A)中任一高为 s 的分子 ys而言，j m 使 ys pj，即只需证明s *()，ysf(A)，ys P1 P2 Pm(4)由 f1()是 A 的 2远域族知有 r *()使对 xr A 有 j m 使 xr f1(Pj)，即r *()，xrA，xr f1(P1)f1(P2)f1(Pm)(5)设式(4)不成立，即s *()，ysf(A)，ysP1 P2 Pm(6)因为 =sup*()，于是由极小集的定义知()=(sup*()=(s)|s*()，那么由 r*()(a)，可知有 s*()使r (s)，因为 r 是分子，所以有 r *(s)。设ys满足式(6)，则 f(A)ys，由 L 值 Zadeh 型函数的定义得f(A)(y)=sup A(x)|f(x)=y s。由 r *(s)知有 x X 使 A(x)r 且 f(x)=y。这时 xr是 A 中的分子，从而满足式(5)。又(f(x)r=yrys，所以由式(6)得f(xr)=(f(x)r=yrP1 P2 Pm即xrf1(P1 P2 Pm)=f1(P1)f1(P2)f1(Pm)上式与式(5)相矛盾，所以式(4)成立。同理可证，M(L)，f(A)的 2远域族都有有限子族构成 f(A)的 1远域族。从而证得 f(A)是(LY，1，2)中的配良紧集。推论3:L 双拓扑空间的配良紧性是弱拓扑不变性。定义 10:设(X，J1，J2)是 bts，若 X 的每个 J1(下转第 33 页)81江西科学2023 年第 41 卷参考文献:1徐丽君 SEIQC 传染病模型的构建及在广州市新型冠状病毒肺炎公共卫生防控效果评估中的应用 J 山东大学学报(医学版)，2020，58(10):20 24 2谢家荣 新型冠状病毒传播的数学模型与预测 J 科学通报，2020，65(22):2349 2351 3侯琪 几类种群模型的基本再生数的研究D 烟台:鲁东大学，2020 4刘胜，王书昌，修志龙 新型冠状病毒肺炎的传染动力学 J 病毒学报，2020(3):355 357 5张云俊，张原，尤翀 新型冠状病毒肺炎(COVID 19)传染病传播动力学模型的综述 J 中华医学科研管理杂志，2020，33(Z1):36 38 6朱雨辰 基于泊松过程的山东省新型冠状病毒肺炎的再生数估计及流行动态分析J 山东大学学报(医学版)，2020，58(10):35 36 7ead Jonathan M Novel coronavirus 2019 nCoV(COVID 19):early estimation of epidemiologicalparameters and epidemic size estimatesJ Philo-sophical Transactions of the oyal Society B，2021，376(1829):20200265 8王莹 中国新型冠状病毒肺炎疫情基本再生数评估 EB/OL 2021 06 05 http:/rs yiigle com/CN112338202004/1191391 htm 9TANG B，WANG X，LI Q，et al Estimation of thetransmission risk of the 2019 nCov and its implica-tion for public health interventionsJ Journal ofClinical Medicine，2020，9(2):462 10 SHEN M W，PENG Z H，XIAO Y N，et al Modelingthe epidemic trend of the 2019 Novel Coronavirus out-break in ChinaJ The Innovation，1(prepublish):2020，1(3):65 66(上接第 18 页)开复盖都有有限 J2 开子复盖，每一个 J2 开复盖都有有限 J1 开子复盖，则称 bts(X，J1，J2)为配紧空间。定理6:设(LX，L(J1)，L(J2)是由分明双拓扑空间(X，J1，J2)拓扑生成的 L 双拓扑空间，若(LX，L(J1)，L(J2)是配良紧 空 间 则(X，J1，J2)是配紧空间。证明:设(LX，L(J1)，L(J2)是配良紧空间，是(X，J1，J2)的 J1 开复盖，令 =W|W ，取 r pr(L)，是 LX的 r L(J1)复盖，由(LX，L(J1)，L(J2)的配良紧性知，有有限子族*=W1，W2，Wn使 的有限子族*=Wi|i=1，n构成 LX的 r+L(J2)复盖，则对 x X，有 Wi*，使 Wi 0，即 x Wi，可见*=W1，W2，Wn是 的有限 J2 开子复盖。同理可证，对于 X 的每个 J2 开复盖有有限 J1 开子复盖，所以双拓扑空间(X，J1，J2)是配紧空间。参考文献:1 王国俊 L fuzzy 拓扑空间论 M 西安:西安师范大学出版社，1988 2 孟晗，朱风江 LF 拓扑空间中的几乎良紧性 J 聊城大学学报(自然科学版)，1995(1):12 15 3 赵海信，孟广武 L Fuzzy 拓扑空间的良紧性 J 井冈山大学学报(自然科学版)，2012，33(1):23 25 4 王瑜，马保国，张敏芝 L 预拓扑空间的良紧性 J 延安大学学报(自然科学版)，2011，30(2):912 5 Kelly J C Bitopological Spaces J Proc London MathSoc，1963，13(1):71 89 6 韩玉柏，郑崇友 L 双 Fuzzy 拓扑空间中的 B 配紧性 J 北京师范学院学报(自然科学版)，1990，11(1):8 12 7王小霞，姜金平 L 双拓扑空间中的配超紧性 J 模糊系统与数学，2011，25(3):62 65 8 姜金平，王小霞 L 双拓扑空间中的可数配超紧性 J 模糊系统与数学，2015，29(3):75 78 9 阮蒙蒙，王小霞，马秋丽 L 双拓扑空间的相对配良紧性 J 江西科学，2018，36(3):370 37233第 1 期钟海萍等:新型冠状病毒肺炎(COVID 19)传染病模型的建立与分析