重庆市育才中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题.doc

重庆市育才中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题

重庆市育才中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题

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- 19 -

重庆市育才中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.
【详解】.
故选：B.
【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.
2.已知，，那么下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对于选项,，判断得解；对于选项和，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
【详解】对于选项,，因为，所以，所以，所以该选项正确；
对于选项，，如：则分母小于零，如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；
对于选项，，如：则分母小于零，如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；
对于选项，，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
故选：A.
【点睛】本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.已知，是坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量线性运算可得，由坐标可得结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
4.在区间上随机取出一个数，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用几何概型长度型概率计算公式求解.
【详解】在区间上随机取出一个数，则的概率.
故选：A
【点睛】本题考查几何概型问题的概率，属于基础题.
5.在等差数列中，若，则（ ）
A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，可得，然后由，简单计算结果.
详解】由题可知：
又，所以
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，若，则，考验计算，属基础题.
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据,可得,则.根据正切和角公式有
考点：根据角度判断三角符号;正切和角公式.
7.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可．
【详解】∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得．
∴不等式为，
解得，
∴不等式的解集为．
故选A．
【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值．
8.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1
【答案】B
【解析】
件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．
考点：古典概型．

9.已知，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．
考点：均值定理

10.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A. 第一场得分的中位数为 B. 第二场得分的平均数为
C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D. 第一场与第二场得分的众数相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误.
【详解】由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为，众数为0，极差为19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为，极差为24，所以选项C的说法是错误的.
故选：C
【点睛】本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题.
11.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式化简、代入即可求解.
【详解】由，可得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.
12.梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质可得结果.
【详解依据题意，建立如图所示平面直角坐标系

设，
由，
所以
则
所以
令，则
所以
当时，有
故选：B
【点睛】本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.等比数列中，，其中公比，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比数列的前项和公式求出，再利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意，可知
所以，整理可得，
解得或，又，所以，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式、等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
14.2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）.已知学习时长在的学生人数为25，则的值为______.

【答案】
【解析】
【分析】
利用频率和为可构造方程求得，根据总数频率频数可构造方程求得.
【详解】由频率分布直方图的性质可得：，解得：，
学习时长在的频率为：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题，属于基础题.
15.已知，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用向量垂直，，求出，再利用向量模的求法即可求解.
【详解】因为，且，
所以，即，解得，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量数量积、向量模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16.如图，在平面四边形中，的面积为，，，则________，________.

【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
在中，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，从而求出，根据三角形的面积公式求出，在中，利用勾股定理即可求出.
【详解】在中，，，
由余弦定理可得，
解得,
由正弦定理：，即，
解得，所以，
由，所以，
因为的面积为，
所以，即，
所以.
故答案：；
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22题考生都必须作答.
17.某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知小时内供水总量为千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象.
（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？
（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水千吨，求的最小值，使得供水紧张现象消除.
【答案】（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）
【解析】
【分析】
（1）设蓄水量为y，根据题意求出函数解析式，求解即可；（2）当每小时向池内注水千吨时求出函数解析式，利用换元法根据二次函数的图象与性质求出最小值，令最小值大于等于3求解a即可得a的最小值.
【详解】（1）设蓄水量为y，根据题意，，，
令，，解得，则，
所以一天内将在4时至9时出现供水紧张现象.
（2）每小时向池内注水千吨，则，
令，则，，
对称轴为，因为，所以，
，
令，解得，
所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为.
【点睛】本题考查函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于中档题.
18.已知函数.
（1）求函数最小正周期；
（2）若将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据两角和与差的正弦、余弦公式并结合辅助角公式化简可得，然后根据周期公式简单计算可得结果.
（2）根据（1）的条件，以及伸缩变换可得，然后使用整体法以及正弦型函数的性质可得结果.
【详解】（1）由题可知：

所以
则
所以
所以最小正周期
（2）由（1）可知：，
依题变换之后
由，所以
所以
所以在区间上的值域为
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19.有如下数阵：，其中第个括号内的所有元素之和记为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前100项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1），利用等比数列的求和公式即可得出.
（2），由分组求和即可得出.
【详解】（1），
（2），
其中，
，
数列的前100项和：

【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式、等差数列的前项和公式、分组求和法，属于中档题.
20.在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度与腐蚀时向之间对应的一组数据：
时间
5
10
15
20
35
40
50
深度
6
10
I0
13
16
17
19

（1）求数据6,10,10,13,16,17,19的均值与方差；
（2）试求腐蚀深度对时间的回归直线方程，并预测第100秒时产品表面的腐蚀深度（计算结果保留小数点后两位）.
（可能用到的公式与数据：，其中，，）
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）利用平均数以及方差公式即可求解.
（2）求出横坐标的平均数，利用最小二乘法求出回归直线方程的系数得到回归直线方程，利用回归方程，代入计算，可得结论.
【详解】（1），
所以均值；方差
（2），
，
，
所以回归直线方程为，
当100秒时，.
所以腐蚀深度对时间的回归直线方程：，
第100秒时产品表面的腐蚀深度约为.
【点睛】本题考查了最小二乘法求回归直线方程，考查了运算求解能力，属于基础题.
21.在中，是角的对边，且.
（1）若，解这个三角形；
（2）我们知道，如果是某个定圆的一条弦，点在分圆所得的优（劣）弧上运动，则的大小确定.本题中，若，请结合的外接圆，根据的取值讨论解的个数，并请说明取何值时的面积最大.
【答案】（1），；（2）答案见解析；当时，的面积取得最大值
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理对已知等式进行边化角，再利用两角和的正弦公式进一步化简即可求得，从而求出角B，再利用余弦定理求出边b，相应值代入正弦定理即可求得角；（2）由正弦定理可得，因为，所以可根据正弦函数的图象与性质对的值进行分类讨论确定角A的解的个数从而确定的解的个数；由余弦定理及基本不等式可得，代入三角形面积公式即可求得的面积的最大值.
【详解】（1），
利用正弦定理可得，
即，又，所以，
，，
，，，
由正弦定理得，，
，，
在中，，.
（2），，
且由知，
①当时，，此时有1个解；
②当时，，此时有2个解；
③当时，，此时有1个解；
④当时，，此时无解.
由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，
所以的面积，
当时，的面积取得最大值.
【点睛】本题考查解三角形、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，涉及利用基本不等式求三角形的面积的最值，属于较难题.
22.一农妇原有个鸡蛋，现分9次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为个.
（1）如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，…，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求，给出数列的递推公式并据此求出；
（2）鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋个，是否存在，使得农妇按如下方式卖鸡蛋第一次卖去全部的又个，第二次卖去剩下的又个，第三次又卖去剩下的又个，…，第九次仍然卖去剩下的又个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的的值，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1），，（2）不存在，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）依据题意可得，并可知递推关系为，利用递推公式可得数列的通项公式，进一步计算可得
（2）依题意可得，然后可得数列的通项公式，根据，可得，简单判断可得结果.
【详解】（1）由题可知：可直接得到且
由，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
则，又
所以，
又，所以，则
（2）由题可知：
，即
令，则
所以，则
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列
则，又
所以，
又，，代入上式化简可得
由，所以，又，所以不存
【点睛】本题考查等比数列的实际应用，以及根据递推公式证明等比数列，考查分析能力以及逻辑推理能力，对计算的要求很高，属难题.