三角恒等变换各种题型归纳分析.pdf

河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写三角恒等变换基础知识及题型分类汇总三角恒等变换基础知识及题型分类汇总一、知识点：一、知识点：（一）公式回顾：（一）公式回顾：二倍角公式不仅限于 2 是 的二倍的形式，其它如 4 是 2 的两倍，/2 是/4 的两倍，3 是 3/2 的两倍，/3 是/6 的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当=2 时，就是 的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。（二）公式的变式（二）公式的变式辅助角（合一）公式：辅助角（合一）公式：二二典例剖析：典例剖析：下 下下 下下 下下 下下 下 C.sinsincoscoscos下 下下 下下 下下 下下 下 S.sincoscossinsin T下 下下 下下 下,tantantantan)tan(1 222222242122222TkkCS下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下,(tantantan,sincoscoscossinsin 222221122sincossincoscos2)cos(sin2sin122sin22cos1cos22cos122cos1sin22cos1cos222cos12sin2cos12coscos1cos12cos2sin2tan.2所在的象限，注意讨论号，取决于公式前的sincos1cos1sincos1cos12tanabxbaxbabxbaabaxbxatan)sin(cossincossin22222222其中河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写基础题型基础题型题型一：公式的简单运用题型一：公式的简单运用例例 1:题型二：公式的逆向运用题型二：公式的逆向运用例例 2:题型三：升降幂功能与平方功能的应用题型三：升降幂功能与平方功能的应用例例 3.3.cossin,cossin.cossincossin)(;cossincossin)(.cos)(;cos)(;sin)(;sin)(.xxxxx2203132212212221221121420131240111下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下下 下 提高题型：提高题型：题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形）题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形）例例 1 1).2tan(,21)tan(,2,53sin).22tan(,2tan,54cos.tan,cos,sin,22,13122cos.4tan,4cos,4sin,24,1352sinyxyxxBABAABC求已知提高练习求中，在课本例题求已知同型练习求已知课本例题72cos36cos)2(;125cos12cos)1(.34cos4sin)3(;23tan23tan1)2(;2cos2sin)1(.275sin21)3(;15tan115tan2)2(;5.22cos5.22sin)1(.124422求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos)31(2sin)31(,.212cos312sin.1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角xxy河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写方法：角不同的时候，能合一变换吗？方法：角不同的时候，能合一变换吗？方法：方法：1.转化为与圆有关的最值转化为与圆有关的最值 2.合一变换合一变换+有界性有界性 3.万能公式换元为二次分式万能公式换元为二次分式题型题型 2：角的变换（：角的变换（1）把要求的角用已知角表示）把要求的角用已知角表示例例 2 2 方法：方法：1、想想常见的角的变换有哪些？、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时注意讨论研究角的范围。、求值时注意讨论研究角的范围。证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角.（2）互余与互补）互余与互补题型题型 3：非特殊角求值：非特殊角求值.cos22sin23.6.)(1)3(,cossin)(.5.)55cos(2)10sin(2.4的值域求函数的取值范围时，求的最小值为且当的值时的及取得最大值和最小值的最大值和最小值，以求函数xxykkxffxbxaxfxxxy.2cos,20,2,322sin,912cos.2cos,1312)cos(,53)sin(,432.2.cos,31)tan(,54cos,.cos,2921)cos(,178sin,.1求且已知类似题的值求已知的值求为锐角类似题的值求为锐角，已知.2tan5)22tan(2),sin(3sin7).tan(3tan,sin2)2sin(.4).sin(,13543sin534cos4,043,4).sin(,43,4,4,0,131245sin,534cos.3求证：已知类似题求证：已知求，已知类似题求且xxxxxxxxmxtan1sin22sin47127,534cos4.2sin,534sin.33cot316tan3.2._42sin,cos.12，求且已知求已知化简：则已知xxx2,4,4 方法：方法：善于发现补角和余角解题，关注善于发现补角和余角解题，关注 三者关系三者关系河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写例例 3:3:8cos12sin;12tan18tan.322类似题方发：方发：(1)(1)减少非特殊角的数量；减少非特殊角的数量；(2)(2)注意注意“倍倍”、“半半”。题型题型 4：式的变换：式的变换1 1、tan(tan()公式的变用公式的变用例例 4:4:2、齐次式、齐次式50cos350sin1;10cos310sin1.2 sin8sin15cos7sin8cos15sin7;20cos20sin10cos2.1类似题类似题 80sin2)10tan31(10sin50sin2.820cos110cos380cos175tan5cot10sin20sin220cos1650sin10cos)310tan570sin2170sin214222.)(.(.)4(tantan1tan1)4(tantan1tan1)tantan1)(tantantan )6tan()6tan(3)6tan()6tan(42tan18tan342tan18tan.2114tan111tan114tan111tan;6tan12tan6tan12tan1xxxx类似题类似题化简：)24tan()42tan(.6)12tan()18tan(3)12tan()18tan(.5)45tan1)(44tan1()2tan1)(1tan1.(420tan10tan10tan60tan60tan20tan3.xxxxxx为什么？则可推广：由,2)tan1)(tan1(,45.)(cos3)sin()cos()(sin)2()tan()1(:.0156tan,tan.212cos12sin12cos12sin.1222的值的值；求的两个实数根是方程已知xx河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写3、“1”的运用（的运用（1sin,1cos 凑完全平方凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）题型题型 5：函数名的变换：函数名的变换23,2要点：要点：(1)切化弦；切化弦；(2)正余互化正余互化例例 5:5:.2cos2sin,0,31cossin.32cos2sin12cos2sin1)2(;2cos2sin12cos2sin1)1(.2cos1)2(;sin1)1(.1xxxxx和求已知化简：化简下列各式：.tantan,31)sin(,21)sin(.tantan,53)cos(,51)cos(.2).cos(,0coscoscos,0sinsinsin2).sin(,31cossin,21sincos 1).cos(,54coscos,53sinsin.1的值求已知类似题的值求已知求已知类似题求已知类似题求已知.ABC3,2,45,ABC.AB,3AB)2(Btan2Atan)1(,51)BAsin(,53)BAsin(,ABC)2004.(3的面积的两部分，求分成边上的高把中类似题边上的高求若求证：中锐角全国DCBDBCBCBACnxxx2cos4cos2cos115cos114cos113cos112cos11cos.378sin66sin42sin6sin70sin50sin30sin10sin.272cos36cos.1类似题类似题求值：).cos()2();cos()1(,35)sin(,713tantan,.4).tan2tan1(2sin.3)4(sin)4tan(21cos2.2)(cos,)14sin()(sin,)2(17sin)(sin,17cos)(cos)1.(122求且满足若锐角化简化简求且求证：若xfxnxfZnRxxxfxxf河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写题型题型 6：给值求角：给值求角 要点：先确定角的范围（尽可能缩小）要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数，再选择恰当的函数例例 6:6:题型题型 7：化简与证明：化简与证明方法：上述方法：上述 7 类常见方法类常见方法思路：变同角，变同名，变同次思路：变同角，变同名，变同次例例 7:7:题型题型 8：综合应用：综合应用例例 8:8:.,81tan,51tan,21tan,.2.,1010sin,55sin,.,1010sin,552cos,.1求为锐角的值求且为钝角已知类似题的值求为锐角.2,02sin22sin3,1sin2sin3.4.,2tan12tan4),2sin(sin3,40,40.2),0(),0(,71tan,21)tan(.3222为锐角，求已知的值求且已知类似题的值求且已知)24tan(2)24(cos2cos32tan2cotsin1.5.2cos2cos21coscossinsin.4)0(cos22)2cos2)(sincossin1(.3cossin1cossin1cossin1cossin1.22tan522tan2),sin(3sin7.122222化简：化简化简：求证：已知得到？的图象经过怎样的变换的图象可以由函数函数区间；的最小正周期和单调增求函数若函数福建的集合取得最大值的求使函数的最小正周期；求函数已知函数的值，求为上最大值与最小值之和，在若已知函数的值域求的最小正周期；求设xyxfxfxxxxxfxxfxfRxxxxfaxfaxxxxfxfxfxxxxxf2sin)()2()()1(.cos2cossin3sin)()06.(4.)()2()()1(.,12sin262sin3)(.3.336)(,cossin32cos2)(.2.)()2()()1.(cottan2cos2sin)(.12222河南省叶县高级中学 数学组 郑志祥整理编写总结：总结：一、一、S、C 公式的逆向运用公式的逆向运用（1）变角，以符合公式的形式）变角，以符合公式的形式 （2）合一变换）合一变换二、角的变换二、角的变换1、变换角：要点：（、变换角：要点：（1）把要求的角用已知角表示；（）把要求的角用已知角表示；（2）注意角的范围）注意角的范围2、互余与互补、互余与互补三、非特殊角求值三、非特殊角求值方向：（方向：（1）减少非特殊角的个数）减少非特殊角的个数 （2）关注倍、半角关系（）关注倍、半角关系（3）利用一些特殊的数值）利用一些特殊的数值 四、式的变换四、式的变换1、tan()公式的变用公式的变用2、齐次式、齐次式3、“1”的运用（的运用（1sin,1cos 凑完全平方）凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）五、函数名的变换五、函数名的变换要点：（要点：（1）切割化弦；（）切割化弦；（2）正余互化）正余互化六、倍、半角公式的功能六、倍、半角公式的功能（1）升降幂功能，）升降幂功能，（2）平方功能（）平方功能（1sin,1cos）七、给值求角问题七、给值求角问题要点：（要点：（1）先确定角的范围（尽可能缩小）先确定角的范围（尽可能缩小），（2）选择恰当的函数）选择恰当的函数八、化简与证明问题八、化简与证明问题思路：变同角，变同名，变同次思路：变同角，变同名，变同次补充公式（了解）补充公式（了解）)cos()cos(21sinsin)cos()cos(21coscos)sin()sin(21sincos)sin()sin(21cossin2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsincos3cos43cossin4sin33sin33.2tan12tan2tan.2tan12tan12cos2sin2sin2cos2sin2coscos.2tan12tan22cos2sin2cos2sin22cos2sin2sin222222222222