数学高等差数列义.doc

数列、等差数列

教学目的
1、 掌握数列的相关概念
2、 掌握等差数列的定义，同项公式，求和公式
3、 掌握等差数列各种性质
教学内容
【知识梳理】　
1、 数列的定义
数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。
研究数列，首先研究对应法则——通项公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+…an，由Sn定义，得到数列中的重要公式：。

一般数列的an及Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。
2、等差数列
（1）定义，{an}为等差数列
（2）通项公式：
前n项和公式： ；
（3）性质：
a.an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；
b.Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；
c.若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±bn},{kan+c}（k，c为常数）均为等差数列；
d.当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；当2n=p+q时，2an=ap+aq；
e.当n为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S奇=a中，S偶=a中 ；
f.若数列中含有偶数项（2n项），则；
g.成等差数列，且公差为。
（4）等差数列判断的方法：
a.定义法：an+1-an=d（常数）{an}为等差数列；
b.中项公式法：2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）{an}为等差数列；
c.通项公式法：an=an+b，即an是n的一次型函数，则{an}为公差是a的等差数列；
d.前n项和公式法： Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数，则{an}为等差数列。
【典型例题分析】
例1、已知数列的前项和，数列的每一项都有，求数列的前项和.

变式练习：已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
例2、等差数列{an}中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。
例3、已知数列：
求证：数列为等差数列，并求它的公差
例4、等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，Sn为其前n项和，则（ ）
A.S1，S2，…，S10都小于0，S11，S12，…都大于0
B.S1，S2，…，S19都小于0，S20，S21，…都大于0
C.S1，S2，…，S5都小于0，S6，S7，…都大于0
D.S1，S2，…，S20都小于0，S21，S22，…都大于0
例5、（1）设等差数列的前n项和为，若则的最大值为
（2）设是数列的前n项和，若，则 （ ）
A B C D
【课堂小练】
1、已知是的前项和，且有，则数列的通项 .
2、一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石,则第件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用表示).
第4件

第3件

第2件

第1件

3、设Sn是等差数列的前n项和，若则的值为
A． B．2 C． D．
4、如果一个数列满足,其中h为常数,则称数列为等和数列, h为公和.已知等和数列中a1=1,h=-3,则=
5、等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是 （ ）
A、 B、 C、 D、

7、在等差数列中，若的值为_______
9、在等差数列中，若，则
11、为等差数列的前n项和，若，则= ．
12、等差数列有如下性质，若数列是等差数列，则当 也是等差数列；类比上述性质，相应地是正项等比数列，当数列 时，数列也是等比数列。
13、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则S19=______________．
14、 已知等差数列{an},其中则n的值为 _
15、 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　　　　　；　　　　　　　　．（答案用数字或的解析式表示），

16、定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，，其中ai为数列中的第i项.
①若，则T4= ；
②若 .
【课堂总结】
（1）数列的定义
（2）等差数列
（3）等差中项
（4）等差数列的通项公式，前n项和的求和公式
（5）等差数列的性质
【课后练习】
1、对数列，若存在正常数M，使得对任意正整数n，都有，则称数列是有界数列．下列三个数列：；；中，为有界数列的个数是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2、在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C、8 D．10
3、已知数列的前n项和为，，现从前m项：，，…，中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是（ ）
　　A．第6项　　 　　　B．第8项 　　 C．第12项　　　　 D．第15项
4、在等比数列 （ ）
A． B． C． D．
5、等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为 （ ）
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
6、 等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7、已知首项为正数的等差数列｛an｝满足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数n是
A. 4009 B.4010 C. 4011 D.4012
8、 如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S19等于____________.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … … …
9、下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）

10、已知等差数列{an}中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于（ ）。
A．18 B．27 C．36 D．45
1
2
5
6
7
9
10
11
…… ，
0
3
4
8
11、探索以下规律：
则根据规律, 从2006到2008，箭头的方向依次是( )
A B C D
12、 设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：
①若数列既是等差数列又是等比数列，则；
②若，则数列是等差数列；
③若，则数列是等比数列.
这些命题中，真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
13、数列满足：.
（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.
14、数列的前n项和,a,b是常数，且b0.
⑴证明: 是等差数列；
⑵证明以为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并求出此直线的方程.