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机械振动一章习题解答

习题12—1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使单摆与竖直方向成一微小角度，然后由静止位置放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：［　　　］
　(A) 。　　　　　　(B) 。

题解12―1 图
t=0
ω
(C) 0。　　　　　　 (D) 。
解：单摆的振动满足角谐振动方程，这里所给的是初始角位移，也是角振幅，而非初位相。由旋转矢量法容易判断该单摆振动的初位相为“0”，因此，应当选择答案(C)

习题12—2 轻弹簧上端固定，下端系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了，若将m2移去，并令其振动，则振动周期为：［　　　］
　　(A) 。　　　　　　(B) 。
(C) 。　　　 (D) 。
解：谐振子的振动周期只与其本身的弹性与惯性有关，即与其倔强系数k和质量m有关。其倔强系数k可由题设条件求出

所以

该振子的质量为m1，故其振动周期为

应当选择答案(B)。

习题12—3 两倔强系数分别为k1和k2的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为：［　　　］
　　(A) 。　　　　　　(B) 。
(C) 。　　　　　　(D) 。
解：两弹簧串联的等效倔强系数为，因此，该系统的振动周期为

所以应当选择答案(C)。

习题12—4 一质点作简谐振动，周期为T，当它由平衡位置向X轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：［　　　］
(A) T/4。　　　　　(B) T/12。　　　　　(C) T/6。　　　　　(D) T/8。

t
X
A
–A
60°
A/2
题解12―4图　　
解：参见旋转矢量图，可得关系式

有该式解得

所以应当选择答案(C)。

k
m m
习题12―5图
习题12—5 一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，取其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为：［　　　］
(A) 。　　(B) 。　　
(C) 。　　(D) 。
解：弹簧截成三等份，其每一段的倔强系数为3k；再取其中两段并联的等效倔强系数为6k，因此，我们可得该振动系统的频率为

故应当选择答案(B)。

习题12—6 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为，当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大位移处，则第二个质点的振动方程为：［　　　］
　　(A) 。　　　　　(B) 。

X

题解12―6图
O
(C) 。
(D) 。
解：可画出这两个振动的旋转矢量图，容易看出这两个振动的位相差为

因此，只有答案(B)是正确的。

习题12─7 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为　　　　　　　。

题解12―7图

O

习题12―7图

t (s)

解：设质点的振动规律为

则其运动速度为

式中是运动速度的初位相，由题给速度曲线用旋转矢量法容易知道

因此

习题12─8 一弹簧振子简谐作振动，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦表示。若t=0
(1) 振子在负的最大位移处，则初位相为　　　　　　；
(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为　　　　　　　；
(3) 振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初位相为　　　　　　。　
解：用旋转矢量法可以确定：情况(1)的初位相为；情况(2)的初位相为；情况(3)的初位相为。
X
t=0

(1)
题解12―8图
X
t=0

(2)
X

t=0
(3)

习题12—9 一简谐振动的表达式为，已知t=0时的初位移为0.04m，初速度为0.09m/s，则振幅A=　　　　　，初相　　　　　。
解：由初位移x0和初速度v0可求振幅A和初相

∵　　　　　　　　　　　　　
而　
∴
[注意：本题的答案可能有误，根据计算结果该振动的初位相应该是负值。]

习题12—10 一系统作简谐振动，周期为T，以余玄函数表示振动时，初位相为零。在范围内，系统在t=　　　　　时刻动能和势能相等。
解：依题意有如下关系

即　

∵
∴

∴ 或者　　
故在范围内，当
　　　　　　　　　　　　　　　或者　　
时刻，系统的动能和势能相等。

习题12—11 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比f1:f2=　
　　　，加速度最大值之比a1:a2=　　　　，初始速率之比v10:v20=　　　　。
X X
X1
X2
A
－A
t
O
习题12―11图
解：由曲线图可以看出，x1的周期是x2的一半，因此它们的频率之比应为2:1；而加速度的最大值正比于频率的平方，因此第二个空白应填4:1；由于初始速度

t (s)
X
2
O

4
–2
习题12―12图　
而x1和x2的初相、振幅都相等，因而它们的初速都应与频率成正比，即它们的初始速率之比v10:v20与频率之比相等，也为2:1。

习题12─12 一质点作简谐振动，振动图线如图所示，根据此图，它的周期T=　　　　，用余玄函数描述时的初位相　　　　　。
t=0
t=2
X

题解12―12图
　　解：根据振动图线可画出旋转矢量图，可得

∴　　　　　　　
∴　　　　　　　
从旋转矢量图还可以得到
　　　　　　　　　　　　　或　

习题12—13 质量为2kg的质点，按方程(SI)沿着X轴振动。求：
(1) t=0时，作用于质点的力的大小；
(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。
解：(1) 质点的加速度为

作用于质点的力为

把t=0s代入上式得

(2)作用于质点的力的最大值为

该力的大小为

由于

令上式中

可得

习题12—14 一质量为M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12cm ,在距平衡位置6cm处速度是24cm/s，求：(1) 周期T；(2) 当速度是12cm/s时的位移。
解：(1) 设物体的振动方程为
　　　　　　　　 ①
因而物体的振动速度为
②
把x=0.06m代入①得

由三角关系
　　　　　　　　　　　　　　　　③
把v=0.24m/s和③均代入②并取绝对值得

由此解得

(3) 把v=0.12m/s代入②可得

可得
　　　　　　　　　　　 ④
把④代入①得

A
B

X
习题12―15图
习题12─15 一质点在X轴上作简谐振动，取该质点向右运动通过A点时作为计时起点(t=0)，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且＝10cm。求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点的速率。
解：(1) 依题意可画出旋转矢量图，由于，A、B相对于原点对称，AB中点为平衡位置，也是坐标原点。设质点的振动方程为

显然，由于时间均为2秒，图示的两个角度相等，均为，因此圆频率满足
A
B
X
t=0
t=2
t=4
题解12―15图
　　　　　　，　　
初位相
（或者写成）
振幅
m
所以质点的振动方程为
　　　　　　(SI)
(2) 质点的速率

求A点的速率，可令t =0

［注：该题是旋转矢量法的典型应用，用该法能直观、方便地进行求解；用解析法也可以求解，但是较繁而且不直观。］

习题12─16 一物体作简谐振动，其速度最大值vm=3×10-2m/s，振幅A=2×10-2m。若t =0时，物体位于平衡位置且向X轴的负方向运动。求：(1) 振动周期T；(2) 加速度的最大值am； (3) 振动方程的数值表达式。
解：(1) ∵ 　
∴
∴振动周期

(2) 加速度的最大值

(3) 因t =0时，物体位于平衡位置且向X轴负向运动，所以振动的初位相，故振动方程为
　　　　　　　　　　 (SI)

习题12─17 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为
　　　　　　，　　(SI)
求：合振动方程。
解：设合振动方程为

则　　　　　　　　　　

初位相满足

因此　　　　　　　　
故合振动方程为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(SI)

习题12—18 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使
其静止于轨道的最低处。然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度
运动，试证：
(1) 此物体作简谐振动；(2) 此简谐振动的周期。
O
R

题解12―18图
解：(1) 以半径R与竖直方向的夹角表示小物体的角位移，并且规定在竖直方向右侧，反之在竖直方向左侧，则。当物体在任一角位移处时，它所受到的对O点的外力矩为

若把小物体看成单质点的“刚体”，由转动定律有

即

可令
则有

因此，小物体是作角谐振动。
(2) 该物体作角谐振动的周期为

习题12—19 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的位相差为，若第一个简谐振动的振幅为=17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为　　　　　cm，第一、二两个简谐振动的位相差　　　　　。
X

题解12―19图
解：合振动的振幅矢量与两个分振动的振幅矢量有如下关系

由此可得第二个简谐振动的振幅为

从振幅矢量关系图容易看出和之间的夹角为，也就是说，第一、二两个简谐振动的位相差。

机械振动一章补充习题及答案

习题7—28(2000.1习题集)　一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm，现把质量为4kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，求：(1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。
解：(1) ∵ 　　　　
∴
设振动方程为　　　　　　　　
由初始条件：t =0时，x0=0.10m，v0=0

　　　　　　　　　　　　，　　　
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　(SI)
(2) 弹簧静止时的伸长量l0满足

∴
在平衡位置上方5cm处的伸长量l为

∴这时弹簧对物体的拉力

［或者：　　　　　　　　　　
t=0
t1
t2
X

补充题解7―28图
　　　　　　　　　］
(3) 由旋转矢量图可得

即有

［或者用解析法：　　　　　　　
x =0， 　　，　
x = -0.05 ， ，　

习题7—7(2000.1习题集) 一质点沿Y轴作简谐振动，其振动方程为，则在所给出的四个振动曲线中与之对应的振动曲线是：［　　　］
A
Y
t
O
－A
(B)
Y
－A
t
A
O
(A)
Y
O
t
A
－A
(C)
Y
O
t
A
－A
(D)
习题12―7图

X
t=0
135°
题解12―7图

解：由旋转矢量法作定性判断：初位相为，说明质点位置在Y轴负向处，且向Y轴负向运动，因此，可以看出只有(B)图是正确的。