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2021-2022学年高中数学 1 集合与常用逻辑用语 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定课后素养落实新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 1 集合与常用逻辑用语 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定课后素养落实新人教A版必修第一册

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课后素养落实(九)　全称量词命题和存在量词命题的否定
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　 )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈Nn2＝2n
C　[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.]
2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是
(　　)
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
C　[命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．]
3．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是(　　)
(1)∃x∈R，x≤0；(2)至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；(3)∃x∈Z，使3x＋4＝5.
A．0　 B．1　　　
C．2　 D．3
B　[对于(1)，取x＝－1，显然－1<0，故为真命题，其否定为假命题；
对于(2)，存在整数，如1既不是合数又不是素数，故为真命题，其否定为假命题；
对于(3)，当3x＋4＝5成立时，x＝∉Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5，故为假命题，其否定为真命题．故选B.]
4．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A．p：∃x∈R，x2＋1＝0
B．p：∀x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，p是假命题
D．p是假命题，p是真命题
AC　[命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，p是假命题．]
5．(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100
ABD　[“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．]
二、填空题
6．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．
∃x∈R，|x|＋x2<0　[全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．]
7．给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．
以上命题的否定为真命题的序号是________．
③④　[写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．]
8．若命题“∃x＜2 021，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是_____．
{a|a≥2021}　[由于命题“∃x＜2 021，x＞a”是假命题， 因此其否定“∀x＜2 021，x≤a”是真命题，所以a≥2 021.]

三、解答题
9．某中学开展小组合作学习模式，高二(1)班王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致，为什么？
[解]　一致．因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的．
10．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：∀x∈R，2≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解]　 (1)p：∃x∈R，2＜0，假命题．
因为∀x∈R，2≥0恒成立，所以p是假命题．
(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．
因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r是真命题．
(4)s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．

1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　 )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
D　[由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]
2．(多选)下列四个命题的否定为真命题的是　　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
BD　[A.p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．
B．q：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0恒成立．
C．r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．
D．s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．]
3．已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
a≥－8　[当x∈{x|1≤x≤2}时，
因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，
所以3≤x2＋2x≤8，
由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.]
4．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.
(1)命题p的否定为：________；
(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
(1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0　(2){a|a≤1}　[(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0是存在量词命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋a≠0.
(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，
∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.]

已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，q为假命题，求实数m的取值范围．
[解]　由题意知命题p，q都是真命题．
由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，
因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.