2019届高考数学一轮复习-第九章-平面解析几何-第五节-椭圆-文.ppt

节椭圆总纲目录教材研读1.椭圆的定义考点突破2.椭圆的标准方程和几何性质3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系考点二椭圆的标准方程考点一椭圆定义的应用考点三椭圆的几何性质考点四直线与椭圆的位置关系1.椭圆的定义椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距.集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则集合P表示椭圆;(2)若a=c,则集合P表示线段;(3)若ab0)+=1(ab0)图形性质范围-axa,-byb-bxbaya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=,e(0,1)a、b、c间的关系c2=a2-b23.点点P(x0,y0)和椭圆的位置关系和椭圆的位置关系(1)P(x0,y0)在椭圆内+1.与椭圆的焦点三角形相关的结论与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式含焦半径公式)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆+1(ab0)上一点P(x0,y0)(y00)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的PF1F2中,若F1PF2=,则(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos;(3)=|PF1|PF2|sin=c|y0|=b2tan,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取最大值,最大值为bc;(4)焦点三角形的周长为2(a+c).1.椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,则F1AB的周长为()A.12B.16C.20D.24答案答案CF1AB的周长为|F1A|+|F1B|+|AB|=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a.在椭圆+=1中,a2=25,a=5,F1AB的周长为4a=20.故选C.C2.椭圆C的长轴长是短轴长的3倍,则C的离心率为()A.B.C.D.D答案答案D不妨设椭圆C的方程为+=1(ab0),则2a=2b3,即a=3b.a2=9b2=9(a2-c2).即=,e=.故选D.3.椭圆C的一个焦点为F1(0,1),并且经过点P的椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1D答案答案D由题意可设椭圆C的标准方程为+=1(ab0),且另一个焦点为F2(0,-1),所以2a=|PF1|+|PF2|=+=4.所以a=2,又c=1,所以b2=a2-c2=3.故所求的椭圆的标准方程为+=1.故选D.4.已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=.3答案答案3解析解析依题意有25-m2=16,m2=9,m0,m=3.5.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是.(3,4)(4,5)答案答案(3,4)(4,5)解析解析由已知得解得3k0,所以x=,点P坐标为或.考点一椭圆定义的应用考点一椭圆定义的应用命题方向命题视角利用定义求轨迹方程求轨迹为椭圆的轨迹方程利用定义解决“焦点三角形”问题主要包括与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题考点突破考点突破典例典例1(1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1命题方向一利用定义求轨迹方程命题方向一利用定义求轨迹方程C.-=1D.+=1答案答案(1)A(2)D解析解析(1)连接QA.由已知得|QA|=|QP|.所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.典例典例2已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且.若PF1F2的面积为9,则b=.命题方向二利用定义解决命题方向二利用定义解决“焦点三角形焦点三角形”问题问题3答案答案3解析解析设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则2r1r2=(r1+r2)2-(-)=4a2-4c2=4b2,=r1r2=b2=9,b=3.易错警示易错警示椭圆的定义式|PF1|+|PF2|=2a中,必须满足2a|F1F2|.探究探究1在本例中增加条件“PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.解析解析由原题得b2=a2-c2=9,又2a+2c=18,所以a-c=1,解得a=5,故椭圆方程为+=1.探究探究2将本例中的条件“”“PF1F2的面积为9”分别改为“F1PF2=60”“=3”,结果如何?解析解析|PF1|+|PF2|=2a,又F1PF2=60,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=4c2,所以3|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2,所以|PF1|PF2|=b2,又因为=|PF1|PF2|sin60=b2=b2=3,所以b=3.1-1已知椭圆C:+1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1A答案答案A由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又=,c=1,b2=2,椭圆C的方程为+=1.故选A.1-2设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12C答案答案C如图所示,因为两个圆心恰好是椭圆的焦点,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,易知|PM|+|PN|=(|PM|+|MF1|)+(|PN|+|NF2|)-2,则其最小值为|PF1|+|PF2|-2=8,最大值为|PF1|+|PF2|+2=12.典例典例3(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则该椭圆的方程为.(2)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率,则椭圆C2的方程为.考点二椭圆的标准方程考点二椭圆的标准方程答案答案(1)+=1(2)+=1解析解析(1)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0且mn).椭圆经过点P1、P2,点P1、P2的坐标符合椭圆方程,则解得所求椭圆的方程为+=1.(k0),即+=1.又椭圆C2以C1的长轴为短轴,即2=22,故k=4,故C2的方程为+=1.(2)解法一:由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a2),其离心率为,故=,则a=4,故椭圆C2的方程为+=1.解法二:因椭圆C2与C1有相同的离心率,且焦点在y轴上,故设C2:+x2=k方法技巧方法技巧求椭圆标准方程的两种常用方法定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法 若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB)2-1若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()A.+y2=1B.+=1C.+y2=1或+=1D.以上答案都不对C答案答案C直线与坐标轴的交点分别为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,b=2,c=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+=1.2-2一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1A答案答案A设椭圆的标准方程为+=1(ab0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,=,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6,故椭圆的标准方程为+=1.考点三椭圆的几何性质考点三椭圆的几何性质命题方向命题视角求椭圆的离心率根据已知条件建立a,c的方程(组)或不等式(组),求离心率的值或取值范围利用椭圆的性质求方程根据椭圆的性质求a,b,进而求椭圆的标准方程利用椭圆的性质求参数的取值范围利用椭圆中x、y的取值范围求参数的取值范围典例典例4(1)(2017课标全国,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.(2)设A1、A2分别为椭圆+=1(ab0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.命题方向一求椭圆的离心率命题方向一求椭圆的离心率答案答案(1)A(2)C解析解析(1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.(2)椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-a,0)、A2(a,0),设P(x0,y0),根据题意=-,而+=1,a2-=,于是,即,1-e2,又e1,故eb0),则有解得a=2,b2=3.故椭圆C的标准方程为+=1.典例典例6(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.(0,4,+)命题方向三利用椭圆的性质求参数的取值范围命题方向三利用椭圆的性质求参数的取值范围A答案答案A解析解析当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,1).图(1)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0).图(2)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即3,即m9.综上,m(0,19,+),故选A.1.求椭圆离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.方法技巧方法技巧2.注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系.3.利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.3-1(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.A答案答案A设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=,从而直线AM的方程为y=(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=.同理,OE的中点N的纵坐标yN=.因为2yN=yE,所以=,即2a-2c=a+c,所以e=.故选A.3-2已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),|1,且=0,则|的最小值为.答案答案解析解析由|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,=0,PMAM,即PM为A的切线,连接PA(如图),则|=,又P在椭圆上运动,当|min=5-3=2时,|min=.典例典例7(2018湖南长沙质检)已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.考点四直线与椭圆的位置关系考点四直线与椭圆的位置关系解析解析将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将代入,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.方程中,=(8m)2-49(2m24)=-8m2+144.(1)当0,即-3m3时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数根.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当=0,即m=3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当0,即m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.规律总结规律总结1.直线与椭圆的位置关系的判断步骤(1)联立直线方程与椭圆方程;(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程;(3)当0时,直线与椭圆相交;当=0时,直线与椭圆相切;当b0)的离心率为,右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OMON,求直线l的方程.