高三一轮复习机械能守恒讲义.doc

高考一轮复习机械能守恒专题

一.重力做功与重力势能
1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)概念：物体由于被举高而具有的能．
(2)表达式：Ep＝mgh.
(3)矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功．
3．对守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功．
(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量．
4．机械能守恒的三种表达式
(1)E1＝E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)．
(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减(表示系统动能的增加量等于系统势能的减少量)．
(3)ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减(表示系统只有A、B两部分时，A增加的机械能等于B减少的机械能).

考点一　机械能守恒的判断
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
例1　如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 (　　)

A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
解析　CD 甲图中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒．
乙图中拉力F做功，机械能不守恒．丙图中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒．
丁图中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒．

1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”．
2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
突破训练1　如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．斜劈对小球的弹力不做功 B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒 D．小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量
解析　球有竖直方向的位移，所以斜劈对球做功．不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒故选B、D.
考点二　机械能守恒定律的三种表达形式及应用
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
例2　在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如左下图所示形状，相应的曲线方程为y＝2.5cos (kx＋π)(m)，式中k＝1 m－1.将一质量为1 kg的光滑小环套在该金属杆上，在P(－ m,0)点给小环以平行于杆、大小为10 m/s的初速度，让小环沿杆向x轴正方向运动，取g＝10 m/s2，关于小环的运动，正确的是(　　)

A．金属杆对小环不做功 B．小环沿x轴方向的分运动为匀速运动
C．小环到达金属杆的最高点时的速度为5 m/s D．小环到达Q( m，－2.5 m)点时的速度为10 m/s
解析　小环光滑不存在摩擦力，运动的时候，金属杆对小环只有支持力的作用，支持力的方向始终都是与运动方向垂直的，因此支持力不做功，A正确；小环运动时金属杆对小环的支持力沿x轴方向有水平分量，小环在水平方向具有加速度，是变速运动，B错；根据题图和曲线方程可以看出小环运动到最高点时，上升的高度为2.5 m，由机械能守恒定律mv＝mgh＋mv2可以求出最高点时小环的速度v＝5 m/s，所以C正确；Q点的纵坐标为－2.5 m即高度为－2.5 m，代入上式得v′＝5 m/s，D错．答案　AC
突破训练2　如右上图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能到达的最大高度为(　　)
A．h B．1.5h C．2h D．2.5h

解析　B 在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝，b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能到达的最大高度为1.5h，B正确．

用机械能守恒定律分析竖直平面内的圆
周运动模型

例1如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．正确的是(　　)

A．从A到B的过程中，小球的机械能守恒 B．从A到B的过程中，小球的机械能减少
C．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m D．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
解析：BC 从A到B的过程中，因弹簧对小球做负功，小球的机械能将减少，A错误、B正确；在B点对小球应用牛顿第二定律可得：FB－mg＝m，解得FB＝mg＋m，C正确、D错误．
　【例2】如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤去外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g.求：(1)小球在C点的速度的大小；
(2)小球在AB段运动的加速度的大小；(3)小球从D点运动到A点所用的时间．

解析　(1)小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，则有：mg＝ ① 解得vC＝
(2)设小球在AB段运动的加速度为a，则由运动学公式得v＝2aR ②
从B到C，只有重力做功，小球的机械能守恒，则有： mv＋mg·2R＝mv ③
由①②③式联立可得a＝g，vB＝
(3)设小球过D点的速度为vD，从C到D，小球的机械能守恒：mv＋mgR＝mv ④ 解得vD＝
设小球回到A点时的速度为vA，从B到A，由机械能守恒定律得mv＝mv ⑤ 所以vA＝vB
从D到A的时间为t＝＝(－)

突破训练1　如图所示，两个竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别为hA和hB，下列说法正确的是(　　)．

A．若使小球A沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为
B．若使小球B沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为
C．适当调整hA，可使A球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．适当调整hB，可使B球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
解析　AD小球A从最高点飞出的最小速度vA＝，由机械能守恒，mghA＝2mgR＋mv，则hA＝，A选项正确；小球B从最高点飞出的最小速度vB＝0，由机械能守恒，mghB＝2mgR，释放的最小高度hB＝2R，B选项错误；要使小球A或B从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，R＝v0t，R＝gt2，则v0＝ ，而A的最小速度vA＝>v0，A球不可能落在轨道右端口处，B球可能，C选项错误、D选项正确．
突破训练2如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，求：(1)释放点距A点的竖直高度；(2)落点C与A的水平距离．

解析　(1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝m 又由机械能守恒定律得mg(h＋R)＝mv 由此可解得h＝3R
(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A的水平距离为x由机械能守恒定律得mv＝mv＋2mgR
由平抛运动规律得R＝gt2，R＋x＝v2t 由此可解得x＝(2－1)R

高考题组
1．(2012·浙江·18)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是(　　)

A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
解析　BC 要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v>0，根据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝mv2，所以H>2R，故C正确，D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得x＝2，A错，选B正确．
2．(2013·浙江·23)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图.图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8 m，h2＝4.0 m，x1＝4.8 m，x2＝8.0 m．开始时，质量分别为M＝10 kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．

解析(1)设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有h1＝gt2 ①
x1＝vmint ② 联立①②式，得vmin＝8 m/s ③
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vC，有(M＋m)gh2＝(M＋m)v ④
vC＝＝4 m/s ⑤
(3)设拉力为FT，青藤的长度为L，对最低点，由牛顿第二定律得FT－(M＋m)g＝(M＋m)⑥
由几何关系(L－h2)2＋x＝L2 ⑦ 得：L＝10 m ⑧
联立⑤⑥⑧式并代入数据解得： FT＝(M＋m)g＋(M＋m)＝216 N
模拟题组
3．如左下图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为 (　　)

A. B. C. D.
解析　当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液柱的动能，设液柱总质量为m，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ .
4．如右上图所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施．管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑．若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管形管道A、B内部(圆管A比圆管B高)．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过第一个圆管形管道A内部最高位置时，对管壁恰好无压力．则这名挑战者 (　　)
A．经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能
B．经过管道A最高点时的动能大于经过管道B最低点时的动能
C．经过管道B最高点时对管外侧壁有压力
D．不能经过管道B的最高点　
解析 C 挑战者在两个圆形管道及其之间运动时，只有重力做功，机械能守恒．故在A最高点的机械能等于在B最低点的机械能．在A最高点：mg＝m，故Ek1＝mv＝mgR，在B最低点Ek2＝mg·2R＋mv，故A、B项错．由A最高点到B最高点，重力做正功，动能增大，故在B最高点，会受到外侧壁的弹力，C项正确，D项错误．
5．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点．现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．(g取10 m/s2)(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.

解析　(1)小球沿ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则mgH＝mv2 ①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤ ②
①②两式联立并代入数据得H≥0.2 m
(2)若h的是(　　)

A．弹簧的弹性势能先减小后增大 B．球刚脱离弹簧时动能最大
C．球在最低点所受的弹力等于重力 D．在某一阶段内，小球的动能减小而小球的机械能增加
解析　D 从细线被烧断到球刚脱离弹簧的运动过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的机械能，弹性势能逐渐减小，选项A错误；当弹簧弹力与球重力相等时，球的动能最大，此后弹簧继续对球做正功，但球的动能减小，而球的机械能却增大，B错误，D正确；小球能继续上升，说明在细线烧断瞬间小球在最低点时受到的弹力大于球的重力，C错误．
2．如左下图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，正确的是(　　)

A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中，机械能守恒
解析　C小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但是实际上没有动，整个系统只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒．而小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，由于系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒．小球到达槽最低点前，小球先失重，后超重．当小球向右上方滑动时，半圆形槽向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒．综合以上分析可知选项C正确．
3．如右上图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上(桌面足够大)，A右端连接一水平细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列正确的是(　　)
A．B物体受到细线的拉力保持不变
B．B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
C．A物体动能的增加量等于B物体重力对B做的功与弹簧弹力对A做的功之和
D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功　
解析　BD 对A、B的运动分析可知，A、B做加速度越来越小的加速运动，直至A和B达到最大速度，从而可以判断细线对B物体的拉力越来越大，A选项错误；根据能量守恒定律知，B减少的重力势能转化为A、B的动能与弹簧的弹性势能，B正确，C选项错误；而A物体动能的增加量等于细线拉力与弹簧弹力对A做的功之和，D正确．
►题组2　机械能守恒定律的应用
4．如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10 m/s2) (　　)

A．10 J B．15 J C．20 J D．25 J
解析　A 由2gh＝v－0得：vy＝，即vy＝ m/s，落地时，tan 60°＝可得：v0＝＝ m/s，由机械能守恒定律得Ep＝mv，可求得：Ep＝10 J，故A正确．
5．半径分别为r和R(r
A．机械能均逐渐减小 B．经最低点时动能相等
C．机械能总是相等的 D．两物体在最低点时加速度大小不相等
解析　C 本题考查机械能守恒定律及应用牛顿第二定律处理圆周运动问题的方法．两物体下滑的过程中，均只有重力做功，故机械能守恒，A错误，C正确；在最低点，两物体重力势能不同，由机械能守恒定律可知，两物体动能不同，B错误；物体由半圆形槽左边缘到最低点的过程中，有mgR＝mv2，在最低点，两物体的加速度a＝，解得a＝2g，其与圆周运动的轨道半径无关，D错误．
6．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图右上所示．由静止释放后 (　　)
A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点　
解析　AD 根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故A、D对，B错；由于乙球的质量大
于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点，否则就不满足机械能守恒，C错．
►题组3　综合应用动力学方法和机械能守恒定律解答复杂问题
7．如图所示是一种闯关游戏，在一个平台与斜面之间悬挂有一个不计质量不可伸长的轻绳，悬点为O，使绳子在竖直面内摆动，人从斜面顶端以一定速度沿斜面跑到A点，此时绳子恰好摆到最高点A处，人立即抓住绳子随绳子一起向下摆动，当摆到最低点B时，人松开绳子，然后做平抛运动，落到平台上．将人简化为质点，已知OA垂直于斜面EF，OA与竖直方向OB的夹角为60°，绳长L＝5 m，在最低点B处，人距离平台C端水平距离为10 m，竖直高度为5 m，欲使人落到平台上，则人沿斜面跑到A点的速度至少为多大？(g＝10 m/s2)

解析　设人跑到A点的速度为vA，人在B点的速度为vB，人由A运动到B，由机械能守恒有：
mv＝mgL(1－cos 60°)＋mv ①
人离开绳子后，由B到C做平抛运动，设人由B运动到C所用的时间为t，由平抛运动规律有x＝vBt ②
h＝gt2 ③ 联立①②③解得vA＝5 m/s.

8．如图甲所示，圆形玻璃平板半径为r，离水平地面的高度为h，一质量为m的小木块放置在玻璃板的边缘，随玻璃板一起绕圆心O在水平面内做匀速圆周运动．
(1)若匀速圆周运动的周期为T，求木块的线速度和所受摩擦力的大小；
(2)缓慢增大玻璃板的转速，最后木块沿玻璃板边缘的切线方向水平飞出，落地点与通过圆心O的竖直线间的距离为s，俯视图如图乙．不计空气阻力，重力加速度为g，试求木块落地前瞬间的动能．

解析　(1)根据匀速圆周运动的规律可得木块的线速度大小为：v＝
木块所受摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，有Ff＝m()2r
(2)木块脱离玻璃板后在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2
在水平方向上做匀速直线运动，水平位移x＝vt x与距离s、半径r的关系为s2＝r2＋x2
木块从抛出到落地前机械能守恒，得Ek＝mv2＋mgh
由以上各式解得木块落地前瞬间的动能Ek＝mg(＋h)
9. 如图所示，内壁光滑的空心细管弯成的轨道ABCD固定在竖直平面内，其中BCD段是半径R＝0.25 m的圆弧，C为轨道的最低点，CD为圆弧，AC的竖直高度差h＝0.45 m．在紧靠管道出口D处有一水平放置且绕其水平中心轴OO′匀速旋转的圆筒，圆筒直径d＝0.15 m，筒上开有小孔E.现有质量为m＝0.1 kg且可视为质点的小球由静止开始从管口A滑下，小球滑到管道出口D处时，恰好能从小孔E竖直进入圆筒，随后，小球由小孔E处竖直向上穿出圆筒．不计空气阻力，取g＝10 m/s2.求：(1)小球到达C点时对管壁压力的大小和方向；(2)圆筒转动的周期T的可能值．

解析　(1)小球从A→C，由机械能守恒定律得mgh＝mv
小球在C点处，根据牛顿第二定律有FNC－mg＝ 解得FNC＝m(g＋)＝4.6 N
根据牛顿第三定律知小球到达C点时对管壁压力的大小为4.6 N，方向竖直向下．
(2)小球从A→D，由机械能守恒定律得mgh＝mgR＋mv 代入数据解得vD＝2 m/s
小球由D点竖直上抛至刚穿过圆筒时，由位移公式得d＝vDt－gt2， 解得t1＝0.1 s和t2＝0.3 s(舍去)
小球能向上穿出圆筒所用时间满足t＝(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)
联立解得T＝＝ s(n＝0,1,2,3，…)

【课后检验之基础演练】
1．游乐场中的一种滑梯如图所示．小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则(　　)

A．下滑过程中支持力对小朋友做功 B．下滑过程中小朋友的重力势能增加
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒 D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
2．(2010·安徽理综)伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小(　　)

A．只与斜面的倾角有关 B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关 D．只与物体的质量有关
3．如右上图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则(　　)
A．t1时刻小球动能最大
B．t2时刻小球动能最大
C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
4．如图长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装在固定转动轴O上，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦地转动．若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度v0＝2.不计空气阻力，则(　　)

A．小球不可能到达圆轨道的最高点Q
B．小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向上的弹力
C．小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向下的弹力
D．小球能到达圆周轨道的最高点Q，但在Q点不受轻杆的弹力
5．如图半径为R的竖直固定光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．正确的是(　　)

A．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
B．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
C．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
D．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为2R

6. 如图所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O，倾角为θ＝30°的斜面体置于水平地面上．A的质量为m，B的质量为4m.开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态(绳中无拉力)，OB绳平行于斜面，此时B静止不动．将A由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中错误的是(　　)

A．物块B受到的摩擦力先减小后增大 B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．小球A的机械能守恒 D．小球A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒
8.一质量为50 kg的男孩在距离河流40 m高的桥上做“蹦极跳”，原长长度为14 m的弹性绳AB一端系着他的双脚，另一端则固定在桥上的A点，如图(a)所示，然后男孩从桥面下坠直至贴近水面的最低点D.男孩的速率v跟下坠的距离h的变化关系如图(b)所示，假定绳在整个运动过程中遵守胡克定律(不考虑空气阻力、男孩的大小和绳的质量，g取10 m/s2)．求：(1)当男孩在D点时，绳所储存的弹性势能；(2)绳的劲度系数；(3)讨论男孩在AB、BC和CD期间运动时作用于男孩的力的情况．

【课堂检验之能力提升】
8．如图所示，某货场需将质量为m1＝100 kg的货物(可视为质点)从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R＝1.8 m．地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l＝2 m，质量均为m2＝100 kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2.(最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10 m/s2)(1)求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力．(2)若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ1应满足的条件．(3)若μ1＝0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间．

9．如图所示，一小球从A点以某一水平向右的初速度出发，沿水平直线轨道运动到B点后，进入半径R＝10 cm的光滑竖直圆形轨道，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续向C点运动，C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h＝0.8 m，水平距离x＝1.2 m，水平轨道AB长为L1＝1 m，BC长为L2＝3 m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2.则：(1)若小球恰能通过圆形轨道的最高点，求小球在A点的初速度？(2)若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，求小球在A点的初速度的范围是多少？

【课后检验】
1．D　2.C　3.C　4.B　
5．AD　[根据机械能守恒定律，当速度v0＝时，由mgh＝mv解得h＝，A项正确，B项错误；当v0＝，小球能够运动到圆轨道内侧最高点，D项正确；当v0＝时小球运动到圆轨道内侧最高点以下，若C项成立，说明小球运动的末速度为0，这是不可能的，因为小球沿轨道未到高处就已经脱离轨道做斜抛运动了．]
6．D　[首先需要判断B物体在整个过程中是否发生了运动．当A球未释放时B物体静止，则此时B受向上的静摩擦力Ff＝4mg·sin θ＝2mg.假设在A球运动的过程中B未动，则A球下落的过程中机械能守恒，mgR＝mv2，v＝，在最低点时，对A球进行受力分析可得，FT－mg＝m，FT＝3mg，A球运动至最低点时绳子拉力最大，此时FT＝3mg确．]
7．解析　(1)男孩在D点时速度为零，绳所储存的弹性势能等于男孩减少的重力势能，则
Ep＝mgh＝50×10×40 J＝2×104 J
(2)男孩到C点时的速度最大，此时男孩的加速度为零，绳的拉力和男孩的重力大小相等，即mg＝kx
此时绳的伸长量为x＝22 m－14 m＝8 m 解得绳的劲度系数为k＝＝ N/m＝62.5 N/m
(3)由题图(b)可知，AB段是一条倾斜的直线，男孩仅受重力作用；BC段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力大于拉力；CD段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力小于拉力．
8．解析(1)设货物滑到圆轨道末端时的速度为v0，对货物的下滑过程中根据机械能守恒得m1gR＝m1v①
设货物在轨道末端所受支持力的大小为FN，根据牛顿第二定律得FN－m1g＝m1②
联立①②式，代入数据得FN＝3 000 N③
根据牛顿第三定律，货物对轨道的压力大小为3 000 N，方向竖直向下．
(2)若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得μ1m1g≤μ2(m1＋2m2)g④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得μ1m1g>μ2(m1＋m2)g⑤
联立④⑤式，代入数据得0．4<μ1≤0.6⑥
(3)μ1＝0.5，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动．设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得μ1m1g＝m1a1⑦
设货物滑到木板A末端时的速度为v1，由运动学公式得v－v＝－2a1l⑧
联立①⑦⑧式，代入数据得v1＝4 m/s⑨
设货物在木板A上运动的时间为t，由运动学公式v1＝v0－a1t⑩ 联立①⑦⑧⑨式，代入数据得t＝0.4 s
9．解析　(1)小球恰能通过最高点mg＝m 由B到最高点mv＝mv2＋mg(2R)
由A→B：－μmgL1＝mv－mv 解得在A点的初速度vA＝3 m/s
(2)若vA＝3 m/s时，设小球将停在距B点l处－μmg(L1＋l)＝0－mv 解得l＝1.25 m
若小球刚好停在C处，则有－μmg(L1＋L2)＝0－mvA′2 则vA′＝4 m/s
若小球停在BC段，则有3 m/s≤vA≤4 m/s 若小球能通过C点，并恰好越过壕沟时，则有h＝gt2
x＝vCt －μmg(L1＋L2)＝mv－mv 则有vA＝5 m/s
欲满足题意3 m/s≤vA≤4 m/s或vA≥5 m/s
易错点评
1．机械能守恒条件是只有重力和系统内的弹簧弹力做功，不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零．
2．机械能是否守恒与物体的运动状态无关，判断时不要受此干扰．
3．零势能面的选取虽对利用机械能守恒的解题结果没有影响，但解题的难易往往不同，所以要尽量选合适的零势能面．
4．对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，能否确定重心的位置，常是解决该类问题的关键．可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量．利用ΔEk＝－ΔEp列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算．
14