2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题01 两个计数原理含解析.pdf

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题1两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选 取代表的方法有几种.【例2】若a、6是正整数，且a+6W6,则以（a,6）为坐标的点共有多少个？【例3】用。到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648【例4】用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8 B.24 C.48 D.120【例5】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成 个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.类型二、乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有 种不同的走法.【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有.【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求 甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种.【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调 查团，问选取代表的方法有几种.【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【例12】用1,23,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.【例13】从集合1,2,3,，11中任选两个元素作为椭圆方程三+1中的?和，则能组成落在矩形m n区域8=（x,J2）P|11,且IvK 9内的椭圆个数为（）A.43 B.72 C.86 D.90【例14若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为歹=-/,值域为-1,-9的“同族函数”共有（）A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10个【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数 字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设 计出来的密码共有（）A.90 个 B.99 个 C.100个 D.112个【例16从集合-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个 1数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为（）A.10 B.32 C.110 D.220【例17若x、是整数，且国6,国6,则以（x,y）为坐标的不同的点共有多少个？【例18】用0,1,2,3,4,5这6个数字：可以组成 个数字不重复的三位数.可以组成 个数字允许重复的三位数.【例19六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种.A.5 B.6 C.7 D.8类型三、基本计数原理的综合应用【例21】用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数 的个数是.（用数字作答）【例22】若自然数使得作竖式加法+（+1）+（+2）均不产生进位现象.则称为“可连数”.例如：32 是，可连数，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象.那么，小 于1000的“可连数”的个数为（）A.27 B.36 C.39 D.48【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和.【例25】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成 个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“创创创 0000”到“创创创 9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A.2000 B.4096 C.5904 D.8320【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡 不同的分配方式有（）A.6 瓦9种 C.11种 D.23种【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了 3个新节目，如果将这3个节目 插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A.504 B.210 C.336 D.120【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成 一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A.15 种 B.12 种 C.9 种 D.6 种【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种专题1两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选 取代表的方法有几种.【解析】18+38=56.【例2】若a、b是正整数，且a+6W6,则以（。，6）为坐标的点共有多少个？【解析1 6 6=36.【例3】用。到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0,所以百位有8种，十位有8种，共有8仓呕4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9仓哒1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选：B.【例4】用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8 B.24 C.48 D.120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有4；=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有4创B 2=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2 24=48（个）.故选：C.3【例5】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成一个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.【解析】分四类：千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有2H=120个；千位数字为5时、百位数字为0,1,2,3之一时，有4：彳=48个；千位数字为5时，百位数字是4,十位 数字是0,1之一时，有个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为175.类型二、乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有 种不同的走法.【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，则不同的走法有4 4=16种【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有.【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，同理第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即4仓必4=64不同的放法，故答案为:64.【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求 甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种.【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有安排方法，故不同的安排种法有6 4=120,故答案为120.【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调 查团，问选取代表的方法有几种.【解析】684【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36=729种.【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能，因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有6创J6 6=6?种可能【例12】用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.【解析】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有卷种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2另种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C种排法.由分步乘法计数原理得共有团2/；以=40（种）.答案为：40【例13】从集合1,2,3,，11中任选两个元素作为椭圆方程二+二=1中的?和，则能组成落在矩形 m区域3=1,则|幻11,且外内的椭圆个数为（）A.43 B.72 C.86 D.90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，ml n,所以有两类，一类是加，从1,2,3,%6,7,8任选两个不同数字，方法有4=56令一类是?从9,10,两个数字中选一个，从1,2,3,%6,7,8中选一个方法是：2 8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72故选：B.【例14若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函 数解析式为歹=-,值域为-1,-9的“同族函数”共有（）A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10个【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有-1、1中的一个和-3、3中的一个，满足条件的定义有:卜1，-3、-1,3、1,-3、1,3、-1,1,-3、-1,1,3、-1,-3,3、1,-3,3、-1,1,-3,3,共 9 个.故选：C.【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数 字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设 计出来的密码共有（）5A.90 个B.99 个C.100个D.112个【例161从集合-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个 数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为()A.10 B.32 C.110 D.220【解析】从集合-1,-2,-3,-4,0,1,2,3,4,5中，随机选出5个数组成子集，共有G05种取法，即可组成05个子集，记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件4,而两数之和为1的数组分别为(-1,2),(-2,3),(-3,4)(-4,5),(0,1),彳包含的结果有只有有一组数的和为1,有C5IC43Gle21al=160种结果有两组数之和为1,有。52。61=60种，则A包含的结果共有220种故答案为：220.【例17若x、是整数，且国6,国6,则以(x,用为坐标的不同的点共有多少个？【解析】整数x,满足国6,国6则 x I A=-6,-5,-4,-3,2,-1,0,1,2,3,4,5,6,y A B-6-5,-4,3,2,-1,0,1,2,3,4,5,6,从4种选一个共有13种方法，从8选一个共有13种方法，故有 13 13=169 种.故答案为：169.【例18】用0,1,2,3,4,5这6个数字：可以组成 个数字不重复的三位数.可以组成 个数字允许重复的三位数.【解析】(1)根据题意，分2步分析：、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法，、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有另=20种选法，则可以组成5 20=100个无重复数字的三位数(2)分3步进行分析：、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5 种选法，、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法，、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法，则可以组成5仓监6=180个数字允许重复的三位数；【例191六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【解析】3仓心3包B 3 3 36【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种.A.5 B.6 C.7 D.8【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种结果1，2,首先从3个人中选2个作为个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有C=6种结果，故选：B.类型三、基本计数原理的综合应用【例21】用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数 的个数是.（用数字作答）【解析】按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：4浦;另一类是首位是偶数，有：（出-团）则这样的五位数的个数是：石W-团）用=20.故答案为：20.【例22】若自然数使得作竖式加法+（+1）+（+2）均不产生进位现象.则称为“可连数”.例如：32 是，可连数，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象.那么，小 于1000的“可连数”的个数为（）A.27 B.36 C.39 D.48【解析】如果是良数，则的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3（首位不为0）,而小于1000的数至多三位，一位的良数有0,1,2,共3个二位的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3 3=9个三位的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3仓必3=36个.综上，小于1000的“良数”的个数为3+9+36=48个故选：Q.【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？7【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个.故答案为：20【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和.【解析】因为385=5x7x1 1,在1385这385个自然数中，5的倍数有/更=77（个），7的倍数有言=55（个），11的倍数有笔=35（个），5x7=35的倍数有意=11（个），5x11=55的倍数有鬻=7（个），7x11=77的倍数有遇=5（个），385的倍数有1个.由容斥原理知，在1385中能被5、7或11整除的数有77+55+35（11+7+5）+1=145（个），而5、7、11互质的数有385-145=240（个）.即分母为385的真分数有240（个）.如果有一个真分数为,，则必还有另一个真分数箜三，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，385 385而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时“，它们的和为1x120=120.【例25】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成 个大于3000小于5421的数字不重复的四位数.【解析】分四类：千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有2H=120个；千位数字为5时-，百位数字为0,1,2,3之一时，有4；团=48个；千位数字为5时，百位数字是4,十位 数字是0,1之一时，有个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为175.【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“创创创 0000”到“创创创 9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A.2000 B.4096 C.5904 D.8320【解析】10000个号码中不含4、7的有84=4096,“优惠卡”的个数为10000-4096=5904,故选：C.【例27】同室4人各写1张贺年卜，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卜，则4张贺年卜 不同的分配方式有（）A.6 反9种 C.11种 D.23种【解析】设四人分别为a、b、c、d,写的卡片分别为4、B、C、D,由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法,8不妨设a拿了 8,则6可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，所以共有3仓心1 1 9种分配方式，故选：B.【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了 3个新节目，如果将这3个节目 插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A.504 B.210 C.336 D.120【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为7仓哒9=504,故选：A.【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A.15 种 B.12 种 C.9 种 D.6 种【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，、只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时、第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，当中间一个不种甲时一，则中间一个种乙或丙，当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有2种结果，总上可知共有4+2-6种结果，故选：Q.【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0,所以百位有8种，十位有8种，共有8仓哒4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9仓呕1=72根据分类计数原理知共有256+72=328 9故选：B.【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3 分的共4场，贝分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场，不合题意，故选注10