高一数学正弦定理余弦定理习题及答案.doc

8、如图8，在△ABC中，已知，，B=45° 求A、C及c.

【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角
【答案】
解法1：由正弦定理得：
∵B=45°<90° 即bAC＝7，DC＝3，求AB.
解：在△ADC中，
cosC＝＝＝，
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，＝
∴AB＝AC＝··7＝.

2.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值.
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π
∴45°＜A＜90°，∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.
∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝·－· ＝
又C＝180°－（A＋B）.
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－.

3、在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状.

解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A，
由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A，
∴sin2C＝sin2B ∴B＝C
故△ABC是等腰三角形.
4：在△ABC中，若sinA＝，试判断△ABC的形状.
解：∵sinA＝，∴cosB＋cosC＝，
应用正、余弦定理得＋＝，
∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），
∴a2（b＋c）－（b＋c）b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）
即a2＝b2＋c2
故△ABC为直角三角形.

5:.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：＝.
证明：由a2＝b2＋c2－2bccosA. b2＝a2＋c2－2accosB
两式相减得a2－b2＝c（acosB－bcosA），
∴＝.
又＝，＝，
∴＝＝.

6：.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.
解：由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得
cosA＝＝＝
∴A＝60°
又由已知条件sinA＝2sinBcosC得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C）
∴sin（C－B）＝0，∴B＝C
于是有A＝B＝C＝60°，
故△ABC为等边三角形.