福建省泰宁第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题.doc

福建省泰宁第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

福建省泰宁第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

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姓名：

28

福建省泰宁第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题
考试时间：120分钟；满分150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 在的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是
A. 第8项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第10项
2. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得与残差平方和m如下表：

甲

乙
丙
丁

m
106
115
124
103
则试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性的同学是   
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3. 若，则n的值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知x，y的取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y

由表中数据分析可知y与x线性相关，且，则
A. B. C. D.
5. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记为图中第n行各数之和，则的值为

A. 528
B. 1020
C. 1038
D. 1040
6. 若，则的值为
A. 2 B. 0 C. D.
7. 如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为，F，G，H为圆O上的点，，，，分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起，，，，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积单位：的最大值为   
A. B. C. D.
8. 在区间上随机取值作为x，则的概率为
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q

若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有   
A. B. ，
C. ， D. ，
10. 欧拉公式其中i为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是   
A.   B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于1 D. 的共轭复数为
11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出的贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是
A. 该地水稻的平均株高为100cm； B. 该地水稻株高的方差为10；
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大；
D. 随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大．
12. 已知函数的定义域为，导函数为，若，且，则
A. B. 在处取得极大值
C. D. 在单调递增
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，，则为________．
14.已知随机变量X服从正态分布，且，则          ，          
15.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______ 种以数字作答

16.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到己知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为__________．
五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知复数，复数，其中i是虚数单位，m，n为实数．
若，，求的值
若，求m，n的值．

18. 现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
共有多少种不同的方法？
若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？
19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
第5项的系数与第3项的系数之比是
第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55

已知在的展开式中，_______________________________________．
求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中含的项．

20.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．

满意
不满意
总计
男生

女生

合计

120
完成列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为求出的分布列及期望值．
附公式及表：，其中．

21.某校高二数学兴趣小组的同学，对某公司的一种产品的年销量与定价进行了统计，得到如下数据和散点图：
定价元
10
20
30
40
50
60
年销量
1150
643
424
262
165
86

参考数据：，，，，
根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性给出判断即可，不必说明理由
根据的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程方程中的系数均保留两位有效数字．
定价为多少时，年销售额的预报值最大
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，．

22.已知函数．
当时，求在处的切线方程；
讨论的单调性；
当时，证明不等式．

答案和解析
1.【答案】C

【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理性质，属于基础题 
由二项式展开式的通项公式可得，第r项的二项式系数为 ，又由 ，据此可得到与r项二项式系数相同的项．
【解答】
解： ，
 ，
与第3项二项式系数相同的是第9项．
故选C．
2.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查两个变量的线性相关，本题解题的关键是了解相关系数和残差平方和两个量对于线性相关的刻画．
在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果．
【解答】
解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，
在四个选项中只有丁的相关系数最大，
残差平方和越小，相关性越强，
只有丁的残差平方和最小，
综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，
故选D．

3.【答案】B

【解析】略
4.【答案】B

【解析】解：由题意，，
与x线性相关，且，
，

故选：B．
计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．
本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键．
5.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查杨辉三角形的应用．
利用杨辉三角形的性质，即可得．
【解答】
解： 因为，
，
，
故选D．
6.【答案】C

【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
在所给的式子中，令，可得再令，可得，由此求得要求式子的值．
【解答】
解：，令，可得．
再令，可得，

故选C．
7.【答案】D

【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
先用a表示出四棱锥的体积，构造新函数，求导，结合函数与原函数的单调性，计算原函数的极值，能求出当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积单位：的最大值．
【解答】
解：沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起，，，，
使得E，，H重合，得到四棱锥，
由题意设，则，
，
所得四棱锥体积单位：
，
构造函数，则，
当时，，在内单调递增，在内单调递减，
当时，取得最大值，也就是V取得最大值，

将代入，得该四棱锥体积单位：的最大值为．
故选：D．
8.【答案】D

【解析】
【分析】
本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算，考查不等式的求解，考查用导数研究函数单调性，属于中档题．
令，根据此函数在区间内导数大于0，得出此函数在为增函数结论，根据的条件，可以得到符合条件x的取值范围为，得到符合条件的区间长度与给定区间长度的比值就是所求的概率．
【解答】
解：令，，
，即函数在内为增函数，
题中所给等价于，
又因为，函数在内为增函数，
故在区间上，即，
故上符合要求的x的取值范围为，
区间长度为3，区间长度为2，
故在区间上随机取值作为x，则的概率为．
故选D．
9.【答案】CD

【解析】
【分析】
本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
利用离散型随机变量的分布列得A不正确，再利用离散型随机变量的期望与方差得B不正确，C正确，再利用离散型随机变量的期望与方差的性质得D正确，从而得结论．
【解答】
解：因为，解得，所以A不正确；
因为，
，
所以B不正确，C正确；
又因为，
，所以D正确．
故选CD．
10.【答案】BCD

【解析】
【分析】
本题考查复数的表示，考查复数的基本概念，以及复数的模，是一道综合题．
由，将所求复数化为的形式，进而逐项判断可得其正误．
【解答】
解：因为其中i为虚数单位，，所以，故A错；
为纯虚数，故B正确；
复数的模长等于，故C正确；
其共轭复数为，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】AC

【解析】
【分析】
本题考查正态曲线及其性质，属于简单题．
由密度曲线函数为，，可得，，可得正确结论．
【解答】
解：由密度曲线函数为，，可得，，
所以该地水稻的平均株高为，故A正确，
该地水稻株高的方差为100，故B错误，
随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大，故C正确，
随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大，故D错误，
故选AC．
12.【答案】ACD

【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数单调性，考查逻辑思维与推理论证能力，正确构造函数是关键，根据题意构造函数，然后利用已知求出解析式，然后通过求导判断单调性和极值以及范围，属于中档题．
【解答】
解：令
所以
即
所以

解得
故

所以，故A正确；
在单调递增，故B错误；D正确，
故C正确；
故选ACD．
13.【答案】

【解析】
【分析】本题考查条件概率公式的知识，属于基础题．
由公式，计算出，再由求解．
【解答】解：因为，
所以．
所以．
14.【答案】72

【解析】

【分析】
本题主要考查排列组合的应用，以及分类加法计数原理，分步乘法计数原理，属于中档题．
根据题意，分2种情况讨论：若选3种颜色时，就是同色，同色若4种颜色全用，只能或用一种颜色，其它不相同，求解即可．
【解答】
解：由题意，选用3种颜色时：则同色，同色，涂色方法：种，
4色全用时涂色方法：则或用一种颜色，涂色方法：种，
所以不同的着色方法共有种．
故答案为72．
15.【答案】64或10

【解析】
【分析】
本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键．
根据题意，利用正整数m经过6次运算后得到1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案．
【解答】
解：如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，
则经过5次运算后得到的一定是2；
经过4次运算后得到的一定是4；
经过3次运算后得到的为8或不合题意；
经过2次运算后得到的是16；
经过1次运算后得到的是5或32；
所以开始时的数为10或64．
所以正整数m的值为10或64．
16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查正态分布，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用正态曲线的对称性即可求解．
【解答】
解：由正态曲线的对称性可知，，，
所以，．
故答案为．
17.【答案】解：当，时，，，
所以，
所以．

因为，即，所以，
所以，解得．

【解析】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的基本概念，复数的模，是基础题．
将m，n代入即可得的值，
由复数相等的概念，列出关于m，n的方程组即可解得．
18.【答案】解：将4个不同的球放入4个不同的盒子，则共有种不同的放法；
将4个不同的球放入4个不同的盒子，若每个盒子不空，则共有种不同的放法；
将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有一个盒子不放球，则共有种不同的放法；
将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有两个盒子不放球，则共有种不同的放法．

【解析】本题考查了排列、组合的综合应用，属于简单题．
将4个不同的球放入4个不同的盒子，每个球都有4种放法，相乘即可；
若每个盒子不空，全排列即可得解；
若恰有一个盒子不放球，选出这个空盒子，再选两个球作为一个整体放在同一个盒子中，将三个整体排列即可得解；
若恰有两个盒子不放球，选出两个放球的盒子，分两个盒子都放两个球和一个盒子放一个球，另一个盒子放三个球，两者相加即可得解．
19.【答案】方案一：选条件
 ，                  
由题知，，，
整理得，即，解得或舍去．
，展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，，
展开式中二项式系数最大的项是第6项，                       
由知，，，                            
令，解得，，展开式中含的项是第1项，．
方案二：选条件
由题意得，，整理得，  
解得或舍，，                                    
展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，，
展开式中二项式系数最大的项是第6项，                     
同方案一
方案三：选条件
，，                    
展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，，
展开式中二项式系数最大的项是第6项，                   
同方案一

【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
由题意利用，二项式系数的性质，求得n的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项．
由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含的项．
20.【答案】解：因为男生人数为：，
所以女生人数为，
2x2列联表如下：

满意
不满意
总计
男生
30
25
55
女生
50
15
65
合计
80
40
120
根据列联表中的数据，得到的观测值
，
所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有．
由可知男生抽3人，女生抽5人，
依题可知的可能取值为01，2，3，
并且服从超几何分布，1，2，，
即，，
，，
可得分布列为

0
1
2
3
P

可得．

【解析】本题主要考查独立性检验基本思想的初步运用，以及离散型随机变量的分布列以及期望．
根据男生与女生的人数之比为，以及总人数120，可求出男，女生总人数，即可完成列联表，并根据独立性检验的基本思想，求出的观测值，对照临界值表，即可判断是否有把握
根据可知，男生抽3人，女生抽5人，则的可能取值为0，1，2，3，并且服从超几何分布，即可利用公式1，2，，求出各概率，得到分布列，求出期望．
21.【答案】解：由题中散点图，可知z与x具有较强的线性相关性．
由统计数据，得，，
，
由，得线性回归方程为，
所以y关于x的回归方程为．
年销售额，
所以，
令，得，
由函数的单调性，可知当时，年销售额的预报值最大，所以定价为20元时，年销售额的预报值最大．

【解析】本题考查线性回归方程的应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．
由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；
求得样本中心点，则，由，即可求得线性回归方程，则；
年利润，，求导，令，即可求得年利润的最大值．
22.【答案】解：当时，，则，
又由于，则，
故在处的切线方程为；
函数的定义域为，
，
当时，，在上单调递减，
当时，令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
将欲证明结论变形为，
题目转化为由时，证明，
故我们构造函数，
这样命题转化为当时，证明，
故只需要证明函数在上单调递减即可．
以下用导数证明．
，
令，
则，
当时，很显然；
故函数在上单调递减，
故，
故导函数在上恒成立，
故函数在上单调递减，
即当时，有，
即当时，．
证毕．

【解析】本题主要考查导函数的综合应用，难度较大．
对求导，得到处切线的斜率，用点斜式得到切线方程；
对求导，得到，对a进行讨论，判断的单调性．
将要证明的式子转化为，故想到构造函数，然后借助导数研究的单调性即可．