重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题.doc

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题

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重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合A＝{0，1，2，3，5}，B＝{0，5}，则A∪B＝（ ）
A. {0，5} B. {0，1，2，5}
C. {0，1，3，5} D. {0，1，2，3，5}
【答案】D
解析】
【分析】
直接根据集合的并运算，即可得答案；
【详解】A＝{0，1，2，3，5}，B＝{0，5}，
A∪B＝{0，1，2，3，5}，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，考查对并集概念的理解，属于基础题.
2.已知函数，则＝（ ）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
分情况代入数值即可求出结果.
【详解】由，
当时，，
当时，，
所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查分段函数求值问题.属于容易题.
3.在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布（），若，则＝（ ）
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2
【答案】C
【解析】
【分析】
由ξ服从正态分布（）可得，即可选出答案.
【详解】因为ξ服从正态分布（），所以
故选：C
【点睛】本题考查的是正态分布的对称性，较简单.
4.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式知，对数的真数大于，偶次根号下非负，易得关于的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，
则有，
解得，
函数的定义域是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、不等式的解法，属于容易题.
5.由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.以下推理为归纳推理的是（ ）
A. 幂函数在（0，+∞）是单调函数，是幂函数，故在（0，+∞）是单调函数
B. 由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，得1+3+…+（2n﹣1）＝n2（n∈）
C. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，得“正四面体的内切球切于四个面的中心”
D. 平行于同一条直线的两直线平行，已知，则
【答案】B
【解析】
【分析】
结合归纳推理、类比推理及演绎推理的特点，对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】对于A，符合三段论形式，是演绎推理；
选项B，是由特殊到一般的推理，是归纳推理；
对于C，是由特殊到特殊的推理，是类比推理；
对于D，符合三段论的形式，是演绎推理.
故选：B.
【点睛】本题考查推理知识，考查学生对基础知识的掌握情况.
6.若复数，其中i是虚数单位，则它在复平面内所对应的点在第（ ）象限.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数的四则运算法则，可求出，即可得到它所对应的点的坐标，进而可得出答案.
【详解】由题意，，
所以复数在复平面内所对应的点为，在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的几何意义，属于基础题.
7.设：，：，则是的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式，可知，即可选出答案.
详解】对于：，解得或者；
对于：，可得，即，
显然，即是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的解法，考查充分性与必要性，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
8.随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，则由，，列出方程组，求出，，由此能求出.
【详解】设，，
由题意，，且，
解得，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
9.某地产公司计划在4个候选城市中选出2个城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目至少1个，则该地产公司不同的投资方案有（ ）
A. 16种 B. 24种 C. 36种 D. 60种
【答案】C
【解析】
【分析】
先选出2个城市，再对3个不同的项目进行分组，最后进行排列，即可得答案；
【详解】选出2个城市有，对3个不同的项目进行分组，进行排列，
，
故选：36.
【点睛】本题考查利用排列数与组合数进行计算，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10.函数f（x）＝|2x﹣1|+﹣1的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
令得到，再设，画出两个函数的图象分析即得解.
【详解】

令，
设，
当时，两个函数的图象没有交点；
当时，都是增函数，
，
所以当时，两个函数的图象没有交点.
所以函数的零点的个数为0.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.奇函数关于对称，且在单调递减；若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得，利用指数和对数运算确定自变量的范围，再利用周期性和单调性比较的大小即可.
【详解】由奇函数关于对称，
可得的周期，
则，
，
，
又，
，
由在单调递减，
所以在单调递减，
故：.
故选：A.
【点睛】本题主要考查利用函数的性质比较大小.属于中档题.
12.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合复合函数的单调性，可知在上单调递减，由关于直线对称，可知为偶函数，从而可将题中不等式转化为，整理得对任意的恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出的取值范围.
【详解】当时，，
函数在上单调递减，且是R上的增函数，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且；
当时，，易知函数在上单调递减，且.
∴函数在上单调递减.
∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数，
∴不等式可化为，
∴恒成立，
即，整理得，
令，
∴对任意的，恒成立，
∴，
即，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于较难题.
二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13.若复数，则其共轭复数_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出复数，然后求出其共轭复数即可.
【详解】由题意，，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查共轭复数，考查学生对基础知识的掌握情况.
14.函数的值域为__．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，然后利用函数的单调性求得函数值域．
【详解】解：
，解得．又函数为定义域内的增函数，
∴．
即函数的值域为．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数值域，训练了利用函数单调性求函数值域，属于基础题．
15.已知函数为上的单调递增函数，则实数a的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数为上的单调递增函数，可得，求解即可.
【详解】∵函数为上的单调递增函数，
∴，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力，所以基础题.
16.某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竟猜活动，活动规则如下：两人一组，每轮竞猜中，每人竞猜两次，两人猜对的次数之和不少于3次就可以获得一张奖券.小蓝和她的妈妈同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为p1，p2，两人是否猜中相互独立，若p1+p2＝，则当小蓝和她妈妈获得1张奖券的概率最大时，p12+p22的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
小蓝和她妈妈获得1张奖券这个事件的发生分类为：小蓝猜对1次、她妈妈猜对2次或小蓝猜对2次、她妈妈猜对1次或小蓝和她妈妈都猜对2次，由此可计算出概率，求出这个概率最大时的值可得出结论．
【详解】由题意小蓝和她妈妈获得1张奖券的概率是，
化简得，
∵，∴，
∴时，，此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式，掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题每题12分）
17.设
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写出的展开式的通项即可得到答案；
（2）令，求出的值，然后再令，求出的值，从而可求出的值.
【详解1）的展开式的通项为
所以
（2）当时，，
当 时，，得 ，
所以
【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，考查了赋值法，属于基础题
18.某学校高二年级有2000名学生进行了一次物理测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生作为样本，记录他们的成绩数据，将数据分成7组：[30，40），[40，50），…[90，100]，整理得到如图频率分布直方图.

（1）若该样本中男生有60人，试估计该学校高二年级女生总人数；
（2）根据频率分布直方图，求样本中物理成绩在[70，90）的频率；
（3）用频率估计概率，现从该校高二年级学生中随机抽取2人，求恰有一名学生的物理成绩在[70，90）的概率.
【答案】（1）800；（2）0.6；（3）0.48．
【解析】
【分析】
（1）用样本频率作为总体频率可得；
（2）频率分布直方图直接计算；
（3）记事件为“抽取1人，物理成绩在[70，90）上”，由（2）知，题意是求两次重复试验中事件恰好发生一次的概率．由概率公式可得．
【详解】（1）设高二年级女生总人数为，则，解得；
（2）样本中物理成绩在[70，90）的频率是；
（3）记事件为“抽取1人，物理成绩在[70，90）上”，由（2）知，
两次重复试验中事件恰好发生一次的概率为．
【点睛】本题考查频率分布直方图，用样本估计总体考查独立重复试验的概率公式，本题属于中档题．
19.如图，底面是边长为4的正方形，平面，，，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由平面，可得，再由，可证明平面；
（2）易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法可求出二面角的余弦值.
【详解】（1）∵平面，平面,∴，
∵底面是正方形，∴，
∵，且平面，
∴平面.
（2）∵平面，平面,∴，，
又∵是正方形，∴，
故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，平面，∴△为等腰直角三角形，
∵是边长为4的正方形，∴，
∵，∴，
则，
∴，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，可得，则，
∴，
∴二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决二面角的常见方法，属于中档题.
20.“微粒贷”是腾讯旗下2015年9月开发上市的微众银行网货产品.腾讯公司为了了解“微粒贷”上市以来在C市的使用情况，统计了C市2015年至2019年使用了“微粒货”贷款的累计人数，统计数据如表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x
1
2
3
4

5
累计人数y（万人）
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8

（1）已知变量x，y具有线性相关关系，求累计人数y（万人）关于年份代号x的线性回归方程；并预测2020年使用“微粒贷“贷款的累计人数；
（2）“微粒贷”用户拥有的贷款额度是根据用户的账户信用资质判定的，额度范围在500元至30万元不等，腾讯公司在统计使用人数的同时，对他们所拥有的贷款额度也作了相应的统计.我们把拥有货款额度在500元至5万元（不包括5万元）的人群称为“低额度贷款人群”，简称“A类人群”；把拥有贷款额度在5万元及以上的人群称为“高额度贷款人群”，简称“B类人群”.根据统计结果，随机抽取6人，其中A类人群4人，B类人群2人.现从这6人中任取3人，记随机变量ξ为A类人群的人数，求ξ的分布列及其期望.
参考公式：,
参考数据：
【答案】（1）；在2020年使用“微粒贷”贷款的累计人数大约为5.3万人； （2）分布列见解析；期望为.
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据结合公式，求得，求得回归直线的方程，令，即可得到结论；
（2）随机变量的可能值为，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，求得期望.
【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，可得：
，
，
可得,
所以，
故的线性回归方程，
令，得，
故在2020年使用“微粒贷”贷款的累计人数大约为5.3万人.
（2）随机变量的可能值为，
可得，
所以的分布列为：

1
2
3

所以期望为：.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望的计算，以及回归直线方程的求解及应用，注重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算与求解能力.
21.已知椭圆的短轴长为2，且其离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于P，Q两点是否存在圆心在原点的定圆与直线PQ总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）;（2）存在,
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的离心率和短轴长,求出a、b,即可得到椭圆C的方程.
(2)根据条件，分直线的斜率不存在和直线的斜率不存在两种情况分别求出定圆的方程，当直线的斜率存在时,设直线方程为,联立方程组,令，,利用韦达定理,结合.推出,利用直线与圆相切,求出圆的半径,得到圆的方程,即可得到结果.
【详解】（1）因为短轴长为2，所以，
因为离心率为.所以 ，由 联解得
椭圆C的方程为
（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴.
∴到直线的距离为，所以.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
由得.
设，，则，.
∵，∴，
∴.
∴，即.
∴到直线的距离为，
故存在定圆与直线总相切.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,圆与椭圆的以及直线的综合应用,考查分类讨论思想、转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
22.定义在的函数（其中R）.
（1）若，求的最大值；
（2）若函数在处有极小值，求实数a的取值范围.
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】
（1）若，可得，对求导，利用导函数判断其单调性，进而可求出最大值；
（2）对函数求导，得，分，和三种情况，分别讨论函数的单调性，并结合极小值与导数的关系，可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）若，则，求导得，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以取得极大值也是最大值，
.
（2），其中，
令，则，
当时，，则函数在上单调递减，又，
所以时，，单调递增；
时，，单调递减，
即处有极大值，与题干矛盾，故不符合题意；
当时，令，
则，显然，
则在上单调递减，而.
①若，，
故当时，，此时单调递减，
所以，故在单调递减，
显然在处不可能有极小值，故不满足题意；
②若时，，
故当时，，此时单调递增，
所以时，，即在单调递减，
由（1）知，，即，则，
所以，
因为，，所以存在使得，
则时，，即单调递增，
所以时，，即在单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值.
综上所述，若在处有极小值，则.
【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想在解题中的应用，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于难题.