重庆市第八中学2020届高三数学下学期第2次月考试题-文.doc

重庆市第八中学2020届高三数学下学期第2次月考试题 文

重庆市第八中学2020届高三数学下学期第2次月考试题 文

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- 22 -

重庆市第八中学2020届高三数学下学期第2次月考试题 文（含解析）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合A，B，根据交集计算即可.
【详解】,

故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.
2.在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 222石 B. 224石 C. 230石 D. 232石
【答案】B
【解析
【分析】
根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为石，即可得到答案．
【详解】由题意可知，2016石的夹谷约为石．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．
4.若实数满足，则的最大值是（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】D
【解析】
分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．
【详解】先根据约束条件画出可行域，如图：

由得：，
根据截距的几何意义可知，
当直线过点时，
有最大值，
故选：D．
【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
5.设为坐标原点，为抛物线的焦点，若点满足，则为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线方程得到焦点坐标，根据向量的数量积运算即可求出a.
【详解】由知，焦点，
所以，
解得，
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，数量积的坐标运算，属于容易题.
6.设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 16 C. 12 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由知，公比，由计算，代入求值即可.
【详解】因为等比数列的前项和为，且
所以,且，
解得：，
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式，考查了运算能力，属于中档题.
7.在中，，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理求出，利用基本不等式求的最值，即可求解.
【详解】由余弦定理知，当且仅当时，取等号，
因为,
故A的最大值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查余弦定理，均值不等式，余弦函数的单调性，属于中档题．
8.函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图象可得周期，求出可排除B、C，再利用过点区分选项A、D即可.
【详解】由图象知, ,
所以，得，故排除选项B、C，
又图象过点，代入选项A不成立，代入选项D成立，
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，由图象求解析式，属于中档题.
9.棱长为的正方体中，点分别为棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出截面图形，截面为正六边形，求其面积即可.
【详解】如图，作出过三点的平面截面图，

由图可知，截面为正六边形，边长为，
所以截面面积，
故选：C
【点睛】本题主要考查了截面的性质，正六边形的面积，考查了空间想象力，属于中档题.
10.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算，根据正弦函数的单调性即可比较大小.
【详解】,,
,,
,

,
,
故选：B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，正弦的二倍角公式，正弦函数的单调性，属于中档题.
11.已知双曲线右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求出，利用双曲线的对称性可知，建立关系，求解即可.
【详解】连接,如图，

由双曲线对称性可知，，
所以，
又，，
代入双曲线方程可得：，
由双曲线定义知，
故，
又在直角三角形中，，
所以，
整理可得：，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.
12.已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，
所以，在上增函数，
由题意得，，否则不成立，
当时，，
，且，
，
即时，恒成立，
当时，，
，且，
，
故当时，不成立.
综上所述，
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量与的夹角为120°，且，则_____.
【答案】﹣5
【解析】
【分析】
利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出.
【详解】因为向量与的夹角为120°，且，
所以：||；
则cos120°＝10×（）＝；
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.
14.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相克的概率为________.

【答案】
【解析】
【分析】
通过列举法可得所有的取法共有10种，而取出的两种相克的取法共有5种，由此即可求解．
【详解】从5类元素中任选2类元素有的取法共有金，木，金，水，金，火，金，土，木，水，木，火，木，土，水，火，水，土，火，土，共10种，
而取出的两类相克的取法有金，木，木，土，土，水，水，火，火，金，共5种，
故取出的这2类元素相克的概率为，
故答案为：
【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于中档题．
15.分别是关于的方程和的根，则________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据题意得出是函数与与交点的横坐标，结合与的图像关于轴对称，即可求出结果．
【详解】 分别是方程和的根，
即分别是方程和的根，
是函数与与，交点的横坐标，
与的图像关于轴对称，
与的交点与与交点关于对称，
由得，
，即
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，反函数图象间的关系，数形结合的思想，属于难题.
16.已知某圆柱轴截面的周长为12，当该圆柱体积最大时其侧面积为_______
【答案】
【解析】
【分析】
设圆柱底面半径为，高为，由题意知，利用导数求体积最大时等号成立的条件，计算此条件下圆柱侧面积即可.
【详解】设圆柱底面半径为，高为，
则，
，
，
当时，，函数是增函数，
当时，，函数为减函数
所以当时，有极大值，也为最大值，
此时侧面积，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆柱的轴截面性质、体积计算公式、侧面积公式，利用导数求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17.已知数列满足，，，数列满足，，且数列是等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列定义求出，再利用是等差数列求出数列的通项公式；
（2）写出，得，利用分组求和及裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意得，是以2为首项，2为公比的等比数列，，
，，是等差数列，
，
（2），

又

【点睛】本题主要考查了等比数列，等差数列的定义、性质，分组求和，裂项相消法求和，属于中档题.
18.如图，四边形为平行四边形，点在上，，且.以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明面，得，再证，即可得面，得证；
（2）找到并证明线面角为，求出，由利用等体积法求点到平面的距离.
【详解】（1），，
面，

又，，，

，，，
面
又面，
面面
（2）面，
直线与面的所成角为，
，
，

，则

【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，线面角，等体积法求高，属于中档题.
19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下：

甲套设备的样本的频率分布直方图

乙套设备的样本的频数分布表
质量指标值

频数
1
6
19
18
5
1

（1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.

甲套设备
乙套设备
合计
合格品

不合格品

合计

附：

0.15
0.10
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

参考公式：，其中
【答案】（1）甲合格率0.86，乙的合格率0.96，乙套设备比甲套设备更优秀.（2）见解析，没有
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图和频数分布表，计算合格率，即可得出结论;
（2）填写联表，计算，比较临界值即可得出结论.
【详解】（1）甲的合格率，乙的合格率，
由合格率可以看出，乙套设备比甲套设备更优秀
（2）

甲套设备
乙套设备
合计
合格品
43
48
91
不合格品
7
2
9
合计
50
50
100

，
所以没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
【点睛】本题主要考查了统计与独立性检验的相关知识，也考查了对数据处理能力的应用问题，属于中档题.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于两点.的周长为8，且的最小值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为，直线分别交直线于两点，当的面积是面积的5倍时，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据过椭圆焦点弦的性质可知三角形周长为，垂直对称轴时最短为计算即可；
（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，，再由三点线得，，代入中化简即可求解.
【详解】（1）由周长为8及的最小值为3，

可得，
解得
所以椭圆的方程为.
（2）设，，，，
联立
得：，
即
，
由三点共线可得：，同理可得
.
解得.
所以直线的方程为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了推理与运算能力，属于中档题.
21.已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）原不等式可化为，构造函数，利用导数求其最大值即可求证；
（2）求导，根据结合在上有两不等实根，分类讨论，两种情况，易知不符合题意，当时，由导数研究函数的极值判断函数是否有两个零点.

【详解】（1）即证，令，

当，，单调递增；
当，，单调递减.
而，故
（2）
①当，
，，单调递增.至多一个零点，故不符合.
②当时，
，，单调递增.
，，单调递减.

令，，
，，单调递减.
，，单调递增.
所以.
（ⅰ）当时，，，有一个零点，故不符合
（ⅱ）当时，
由，
记，由（1）知

此时有两个零点.
（ⅲ）时，
由，，，此时有两个零点.
综上，当，有两个零点.
【点睛】本题主要考查了利用函数的导数证明不等式，函数的极值，零点问题，分类讨论的思想，属于难题.
请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
选修4-4：坐标系与参数方程.
22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点.
（1）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；
（2）求曲线C的内接矩形周长的最大值.
【答案】（1）（2）16
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线的直角坐标方程.求得的直角坐标，由此判断在直线上，求得直线的标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得的值.
（2）求得椭圆内接矩形周长表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.
【详解】（1）曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，转换为直角坐标方程为.
点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P（﹣2，0）在直线l上，
所以直线l的参数方程为（t为参数），转化为（t为参数），
所以代入曲线的方程为，
整理得，
所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4.
（2）不妨设Q（），（），
所以该矩形的周长为4（）＝16sin（）.
当时，矩形的周长的最大值为16.
【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
选修4-5：不等式选讲.
23.已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R.
（1）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；
（2）若a＞0，∀x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）（﹣∞，﹣1）（2）0＜a≤6
【解析】
【分析】
（1）化简不等式得到，利用零点分段法求得不等式的解集，也即求得的取值范围.
（2）将不等式恒成立，转化为.求得的最大值以及的最小值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）f（2）+f（﹣2）＞4，可得2|2﹣a|﹣2|2+a|＞4，即|a﹣2|﹣|a+2|＞2，
则或或，
解得a≤﹣2或﹣2＜a＜﹣1或a∈∅，则a的范围是（﹣∞，﹣1）；
（2）f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，等价为f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，
其中当x，y∈（﹣∞，a]，|y+3|+|y﹣a|≥|y+3+a﹣y|＝|a+3|＝a+3，当且仅当﹣3≤y≤a取得等号，
而f（x）＝﹣x（x﹣a）＝﹣（x）2，当且仅当xa时取得等号.
所以a+3，解得0＜a≤6.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.