吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题-理.doc

吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题 理

吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题 理

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吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题 理（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则全集则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.
【详解】由，
则，故，
由知，，因此，
，，
，
故选:D
【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.
2.设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数除法的运算法则，即可求解.
【详解】.
故选:B.
【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.
3.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：，．故C正确．
考点：复合函数求值．

4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )

A. 9 B. 31 C. 15 D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】执行程序框；；；
；；，
满足，退出循环，因此输出，
故选:B.
【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
5.若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
6.如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( )

A. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】
分析】
由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.
【详解】由图可知，，
又，，
又，，，
为了得到这个函数的图象，
只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，
得到的图象，
再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.
故选:A
【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.
7.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有种情况，
2张均没有奖的情况有（种），故所求概率为.
故选:C.
【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.
8.已知满足，，,则在上的投影为（　　　　）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量投影的定义，即可求解.
【详解】在上的投影为.
故选:A
【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.
9如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )

A. B. C. 6 D. 与点O的位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.
【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O在平面上，高为2，
所以四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
故选:B.

【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
10.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A. 甲走桃花峪登山线路 B. 乙走红门盘道徒步线路
C. 丙走桃花峪登山线路 D. 甲走天烛峰登山线路
【答案】D
【解析】
【分析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选D
【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
11.记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】作出函数的图象如图所示，由图可知

方程在上有3个不同的实数根，
则在上有4个不同的实数根，
当直线经过时，；
当直线经过时，，
可知当时，直线与的图象在上有4个交点，
即方程，在上有4个不同的实数根.
故选:D.
【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
12.直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，
再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，
所以，即椭圆的左焦点为，且 ①
直线交轴于，所以，，

因为，所以，所以，
又由点在椭圆上，得 ②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A.
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.
【答案】6
【解析】
试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以，
所以．故答案为6．
【考点】等差数列的基本性质
【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.

14.已知下列命题：
①命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“”为真命题；
③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
【答案】②
【解析】
命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(p)∧(q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a＞2，但a＞2⇒/ a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．
15.将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.
【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称
关于对称
即：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.
16.如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=, 那么椭圆的方程是 ．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可设椭圆方程为：
∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上
∴
又，
∴，
∴椭圆的方程为，
故答案为．
考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以 ．
进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．
解析：
（I）因为，所以，
由正弦定理，
得．
又因为 ，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
（II）由，得，
由余弦定理，
得，
即，
因为，
解得 .
因为 ，
所以 .
18.在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点.

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）首先证明，，，∴平面.即可得到平面，.
（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可.
【详解】（1）∵平面，平面，∴.
又∵四边形是正方形，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
又∵，为的中点，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面，，∴平面.
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则，，，.
∴，，.
设为平面的法向量，
则，得，
令，则.
由题意知为平面的一个法向量，
∴，

∴平面与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.
19.在四棱锥底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .

（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.
【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
底面，底面，故，
且，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则：，
设平面的一个法向量为,
则：，
据此可得平面的一个法向量为，
而，
设直线与平面所成角为，
则.
(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，
设，，
据此可得：，即：,
从而点F的坐标为，
据此可得：,，
结合题意有：，解得：.
故点F为中点时满足题意.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知双曲线及直线.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且，求实数k的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程与双曲线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；
（2）设，由（1）可得关系，再由直线l过点，可得，进而建立关于的方程，求解即可.
【详解】（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得，
，
解得且.
双曲线C与直线l有两个不同交点时，
k的取值范围是.
（2）设交点，直线l与y轴交于点，
，.
，即，
整理得，解得或
或.又，
或时，的面积为.
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
21.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.
【答案】（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；
（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.
【详解】（1）的定义域为R，且.
由，得；由，得.
故当时，函数的单调递增区间是，
单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，
单调递减区间是.
（2）由（1）知当时，，且.
当时，；当时，.
当时，直线与的图像有两个交点，
实数t取值范围是.
方程有两个不等实根，
，，，，
，即.
要证，只需证，
即证，不妨设.
令，则，
则要证，即证.
令，则.
令，则，
在上单调递增，
，在上单调递增，
，即成立，
即成立.
【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4—4：极坐标与参数方程
22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再将，代入普通方程，即可求出结论；
（2）由（1）得曲线表示圆，直线曲线C交于A，B两点，最大值为圆的直径，直线过圆心，即可求出直线的方程.
【详解】（1）由曲线C的参数方程（为参数），
可得曲线C的普通方程为，
因为，
所以曲线C的极坐标方程为，
即
（2）因为直线（t为参数）表示的是过点的直线，
曲线C的普通方程为，
所以当最大时，直线l经过圆心.
直线l的斜率为，方程为，
所以直线l的直角坐标方程为.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.
选修4—5：不等式选讲
23.已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.